Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist benannt nach dem Mathematiker James Stirling.

Stirlingsche.png Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine Näherungsformel

$n!\; \backslash approx\; \backslash sqrt\{2\; \backslash pi\; n\}\; \backslash ;\; \backslash left(\backslash frac\{n\}\{\backslash mathrm\; e\}\backslash right)^\{n\}.$

(Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Quadratwurzel, π, e.)

Genauer gilt:

Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für $n\backslash to\backslash infty$ gleich 1.

Die Stirling-Reihenentwicklung lautet:

$$

\ln (n!)=n\ln (n) - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots

Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als $\backslash frac1\{12n\}$.

Für $n>1000$ genügen zwei Glieder, um den relativen Fehler kleiner als 1 % zu halten:

$\backslash ln\; (n!)\; \backslash approx\; n\; \backslash ln\; (n)\; -\; n$

Für sehr große n, n>10⁴⁴, reduziert sie sich zu (relativer Fehler < 1 %):

$\backslash ln\; (n!)\; \backslash approx\; n\; \backslash cdot\; \backslash ln\; (n)$.

Beispielsweise folgt daraus, dass die Zahl der Ziffern von $10^\{100\}!$ in Dezimaldarstellung bis auf 1% Genauigkeit gleich $10^\{102\}$ ist.

Anwendungen

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Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

Beispiel: Gegeben sei ein System mit $N$ verschiedenen Subsystemen, von denen jedes $m$ verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand $i$ mit der Wahrscheinlichkeit $\backslash omega\_i$ gemessen wird. Damit müssen sich $N\_i$ Subsysteme im Zustand $i$ befinden und es gilt $N\_i/N=\backslash omega\_i$. Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

$N!/(N\_1!\backslash ,N\_2!\backslash ,\backslash ldots\backslash ,N\_m!)$

und für dessen Entropie $\backslash sigma$ gilt

$\backslash sigma=\backslash ln(N!)-\backslash ln(N\_1!)-\backslash ldots-\backslash ln(N\_m!).$

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung $O(\backslash ln(N))$ diese Formel vereinfachen zu

$\backslash sigma\; =\; N\; (\backslash ln\; N\; -\; 1)\; -\; N\_1\; (\backslash ln\; N\_1\; -\; 1)\; -\; \backslash ldots\; -\; N\_m\; (\backslash ln\; N\_m\; -\; 1)$

$=\; N\; \backslash ln\; N\; -\; N\_1\; \backslash ln\; N\_1\; -\; \backslash ldots\; -\; N\_m\; \backslash ln\; N\_m$

$=\; (N\_1\; +\; \backslash ldots\; +\; N\_m)\; \backslash ln\; N\; -\; N\_1\; \backslash ln\; N\_1\; -\; \backslash ldots\; -\; N\_m\; \backslash ln\; N\_m$

$=\; -\; N\_1\; \backslash ln\; (N\_1/N)\; -\; \backslash ldots\; -\; N\_m\; \backslash ln\; (N\_m/N)$

$=\; -\; N\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; (\backslash omega\_i\; \backslash ln\; \backslash omega\_i)$

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der $N$ Subsysteme die bekannte Formel

$\backslash sigma=-\backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash omega\_i\backslash ln(\backslash omega\_i)$

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

$I=-\backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash omega\_i\backslash log\_2\{(\backslash omega\_i)\}$

Siehe auch

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• Gammafunktion

Literatur

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• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.

Weblinks

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