Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig, wenn verschwindend kleine Änderungen des Argumentes (der Argumente) nur zu verschwindend kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das heißt insbesondere, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Das Gegenteil von stetig ist unstetig.

Definitionen

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Unstetigkeit.png Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden:

Eine reellwertige Funktion $f:\; I\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ auf einem reellen Intervall $I\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}$ ist stetig, wenn der Graph der Funktion $f$ ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben.

Diese Aussage ist keine Definition, weil unklar ist, was unter in einem Zug zeichnen genau zu verstehen ist, beispielsweise bei einer Kurve, die auf einem endlichen Intervall eine unendliche Länge hat. Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich. Die nachfolgenden Definitionen für die Stetigkeit sind mathematisch exakt.

Augustin Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition von Stetigkeit. Sie nannten eine Funktion stetig, wenn beliebig kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offen lässt. Die heutzutage benutzte Definition stammt von Karl Weierstraß vom Ende des 19. Jahrhunderts. Dieses so genannte $\backslash epsilon$-$\backslash delta$-Kriterium führt die beliebig kleinen Änderungen genauer aus.

Stetigkeit reeller Funktionen

Reelle Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihr Definitionsbereich $D$ und ihr Zielbereich Teilmengen der reellen Zahlen sind. Für solche Funktionen $f$ ist die Stetigkeit in einem Punkt $x\_0$ des Definitionsbereichs folgendermaßen definiert:

$f\backslash colon\; D\backslash to\; \backslash R$ ist stetig in $x\_0\backslash in\; D$ genau dann, wenn

für alle $\backslash varepsilon\; >\; 0$ ein $\backslash delta\; >\; 0$ existiert, so dass für alle $x\; \backslash in\; D$ mit gilt: .

Äquivalent dazu ist die folgende Definition:

$f\backslash colon\; D\backslash to\; \backslash R\; \backslash mbox\{\; stetig\; in\; \}\; x\_0\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; x\_0\}f(x)=f(x\_0)$

Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Z. B. ist die Signum-Funktion

an jeder Stelle $x\; \backslash in\; \backslash R\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$ stetig, aber nicht insgesamt stetig, da sie an der Stelle $0$ unstetig ist: Der linksseitige Grenzwert ist -1, der rechtsseitige Grenzwert ist +1 und somit existiert der Grenzwert $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash ,\backslash operatorname\{sgn\}(x)$ nicht.

Eigenschaften

• Sind $f$ und $g$ stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich, so sind auch $f\; +\; g$, $f\; -\; g$ und $f\; \backslash cdot\; g$ stetig. Ist $g(x)\backslash ne\; 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich, dann ist auch $\backslash frac\{f\}\{g\}$ stetig.
• Die Komposition $f\; \backslash circ\; g$ zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Beispiele

• Die Sinusfunktion $\backslash sin:\backslash R\backslash to\backslash R,\backslash ;\; x\; \backslash mapsto\; \backslash sin(x)$ ist stetig (d. h. insbesondere in jedem Punkt $x\backslash in\backslash R$ stetig).
• Die Kosinusfunktion $\backslash cos:\backslash R\backslash to\backslash R,\backslash ;\; x\backslash mapsto\; \backslash cos(x)$ ist stetig.
• $f:\backslash R\backslash to\backslash R,\backslash ;\; x\; \backslash mapsto\; e^\{\backslash cos(x)\}$ ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) stetig.
• Die Funktion $f:D\backslash to\backslash mathbb\{R\},\backslash \; x\backslash mapsto\backslash frac\{1\}\{x\}$ ist auf dem maximalen Definitionsbereich $D=\backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$ stetig. An der Stelle 0 ist der Begriff Stetigkeit nicht anwendbar und $f$ ist weder stetig noch unstetig in 0.
• Die Tangensfunktion $\backslash tan(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash cos(x)\}$ ist stetig in ihrem Definitionsbereich, d. h. in allen $x$ aus $\backslash R$ mit $\backslash cos(x)\; \backslash neq\; 0$.
• Die komplexe Exponentialfunktion $\backslash Bbb\; C\; \backslash to\; \backslash Bbb\; C,\backslash ;\; z\backslash mapsto\; \backslash exp(z)$ ist stetig.

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen

Eine Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, mögliche exakte Definitionen sind folgende:

Epsilon-Delta-Kriterium

Seien $(X,d\_X)\backslash ,$, $(Y,d\_Y)\backslash ,$ metrische Räume. Eine Funktion $f:X\backslash rightarrow\; Y$ heißt stetig in $x\_0\backslash ,$, wenn gilt:

Für alle $\backslash varepsilon>0$ existiert ein $\backslash delta>0$, sodass für alle $x\backslash in\; U\_\backslash delta(x\_0)$ gilt: .

Dabei bezeichnet die offene $\backslash delta$-Umgebung um $x\_0$.

Folgenkriterium

Seien $(X,d\_X)\backslash ,$, $(Y,d\_Y)\backslash ,$ metrische Räume, dann gilt:

$f:\; X\; \backslash to\; Y$ ist stetig in $x\_0\; \backslash Leftrightarrow$ Für jede Folge $(x\_n)\backslash ,$ aus der Definitionsmenge von $f\backslash ,$, die gegen $x\_0\backslash ,$ konvergiert, konvergiert $f(x\_n)\backslash ,$ gegen $f(x\_0)\backslash ,$.

Umgebungskriterium

Seien $(X,d\_X)\; \backslash ,$, $(Y,d\_Y)\; \backslash ,$ metrische Räume, dann gilt:

$f:\; X\; \backslash to\; Y$ ist stetig in $x\_0\; \backslash Leftrightarrow$ Zu jeder Umgebung $V$ von $f(x\_0)\backslash ,$ gibt es eine Umgebung $U$ von $x\_0$ , sodass für alle $x\; \backslash isin\; U\; \backslash cap\; X$ gilt: $f(x)\; \backslash isin\; V$.

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Hauptartikel: Stetigkeit (Topologie)

Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort ist eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind.

Spezialfälle von Stetigkeit

Spezialfälle der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit sowie absolute Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Zusammenhang

Es gelten folgende Zusammenhänge im Fall reeller Funktionen:

$f$ Lipschitz-stetig $\backslash Rightarrow$ $f$ lokal Lipschitz-stetig $\backslash Rightarrow$ $f$ stetig

und

$f$ Lipschitz-stetig $\backslash Rightarrow$ $f$ absolut stetig $\backslash Rightarrow$ $f$ gleichmäßig stetig $\backslash Rightarrow$ $f$ stetig.

Beispiele

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass die Rückrichtungen in aller Regel nicht gelten:

• $f:\backslash R\backslash rightarrow\backslash R,\; x\backslash mapsto\; x^2$ ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.

• $f:x\backslash mapsto\; \backslash sqrt[3\{x\}$ ist stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

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Verkettung stetiger Funktionen

Jede Verkettung stetiger Funktionen ist auch wieder stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion

Sind $I$ ein Intervall in $\backslash mathbb\{R\}$ und $f\backslash colon\; I\backslash rightarrow\backslash mathbb\; R$ eine stetige, streng monoton wachsende Funktion, dann ist das Bild von $f$ ein Intervall $J$, $f\backslash colon\; I\backslash to\; J$ ist bijektiv, und die Umkehrfunktion $f^\{-1\}\backslash colon\; J\backslash to\; I$ ist stetig. Somit ist $f$ ein Homöomorphismus von $I$ nach $J$.

Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist $f$ eine umkehrbare und an der Stelle $x\_0$ stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion $f^\{-1\}$ an der Stelle $f^\{-1\}\; (x\_0)$ im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei $f$ definiert durch:

• auf $(2k,2k+1)$ sei $f(x)=x-k$ ($k$ durchläuft die positiven ganzen Zahlen)
• auf $(2k-1,2k)$ sei $f(x)=\backslash frac\{1\}\{x\}$
• auf $\backslash left(\backslash frac1\{k+1\},\backslash frac1k\backslash right)$ sei $f(x)=\backslash frac1\{\backslash frac1x+k\}$
• $f(0)=0$, $f(k)=k$, $f\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{k\}$
• $f(x)=-f(-x)$ für .

Dann ist $f$ bijektiv und in 0 stetig, aber $f^\{-1\}$ ist in 0 unstetig.

Der Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall $*$ (mit

Formal:

Ist

Analog für $f(a)>f(b)$ und $d\backslash in*$.

Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen

Sei $f$ eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich $D(f)$ stetig ist, $D(f)$ sei eine Teilmenge der reellen Zahlen, $x\_0$ sei aus dem Definitionsbereich von $f$,

dann gilt für jede Folge reeller Zahlen $x\_n$ aus $D(f)$ die gegen $x\_0$ konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte $f(x\_n)$ gegen $f(x\_0)$ konvergiert.

Anmerkung: Dieser Satz gilt auch für stetige Abbildungen zwischen beliebigen metrischen Räumen.

Satz von Bolzano

Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion $f(x)$ an zwei Stellen $a$ und $b$ dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen $a$ und $b$ mindestens eine Stelle $c$, an der die Funktion $f(x)$ verschwindet (d. h. $f(c)=0$ also eine Nullstelle der Funktion).

Satz von Weierstraß

Eine reellwertige Funktion, die auf einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge von $\backslash mathbb\; R^n$ stetig ist, nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist , so dass

$f(t)\backslash leq\; f(x)\backslash leq\; f(h)$ für alle $x\backslash in*$

gilt.

Der Satz von Weierstraß benötigt weniger Voraussetzungen für die Suche nach Hoch- und Tiefpunkten (siehe Extremwert) einer Funktion als die differenzielle Suche.

Differenzierbarkeit stetiger Funktionen

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Kochkurve.png]] Stetige Funktionen sind nicht notwendig differenzierbar. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860ern ebenfalls eine derartige Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Seine Funktion ist folgendermaßen definiert

$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}b^n\; \backslash cos(a^n\backslash pi\; x)$,

wobei a eine ungerade Zahl ist und $b\; \backslash in\; ]0,1[$ ist mit $ab>2+\backslash frac\{3\backslash pi\}\{2\}$. Ein bekanntes Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Weblinks

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• Anschauliche bebilderte Erklärung zum Epsilon-Delta-Kriterium auf Mathematik.net
• Kurze Artikel zu grundlegenden Stetigkeitsbegriffen

Analysis

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