Die Statistische Physik beschäftigt sich mit der Beschreibung von Naturphänomenen deren Grundgesetze statistisch begründet sind. Sie ist eine physikalische Disziplin, deren Basis mathematische Sätze (zum Beispiel das Gesetz der großen Zahlen) und einige wenige Hypothesen bilden (zum Beispiel die Ergodenhypothese) und damit sehr fundamental.

Statistische Naturgesetze können überall dort formuliert werden, wo eine beobachtbare Größe eines Systems statistisch abhängig von den Eigenschaften seiner Subsysteme ist. Es ist dabei nicht praktikabel oder gar unmöglich, die Eigenschaften aller Subsysteme zu ermitteln, um daraus auf den Wert der zu beobachtenden Größe zu schließen.

Das Wesen statistischer Naturgesetze

Statistische Gesetze formulieren Wahrscheinlichkeitsaussagen. In realen Szenarien der statistischen Physik gibt es aber ein derart ausgeprägtes Maximum für das Eintreffen des am meisten wahrscheinlichen Ergebnisses, dass für alle praktischen Belange nur dieses wahrscheinlichste Ereignis berücksichtigt werden muss.

Beispiel: beobachtet wird einen Billardtisch auf dem sich 2M Kugeln befinden, die sich statistisch regellos über den Tisch bewegen. Gemessen werden soll die Dichte der Kugeln. Als Maß für die Dichte wird dabei ein beliebiger Ausschnitt des Tisches beobachtet auf dem die Kugeln gezählt werden, das Beispiel bezieht sich auf die rechte Tischhälfte. Das einfachste Modell geht dann davon aus, dass sich jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechts oder links der Tischhälfte aufhält.

• Das so beschriebene Model kennt 2^2M Zustände. Wenn jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit rechts oder links der Tischhälfte sein kann, dann heißt das keiner dieser Zustände wird vom System bevorzugt, alle Zustände werden gleichwahrscheinlich realisiert.
• Es gibt genau eine mögliche Verteilung, bei der sich alle 2M Kugeln in der rechten Tischhälfte befinden, damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich alle Kugeln in der rechten Tischhälfte befinden astronomisch gering und für alle praktischen Belange eine unmögliche Verteilung.
• Die Zahl der möglichen Verteilungen dafür, dass sich auf beiden Tischhälften die gleiche Zahl von Kugeln befindet ist (2M)!/M!. Die Zahl der möglichen Verteilungen dafür, dass sich auf der beobachteten Tischhälfte zwei Kugeln mehr als auf der anderen befinden ist (2M)!/(M+1)!. Damit ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für eine perfekte Gleichverteilung und das Abweichen davon um eine Kugel (M+1)!/M! = M+1. Eine Abweichung von der perfekten Gleichverteilung ist also für große Systeme ein selten auftretendes Ereignis und muss nicht berücksichtigt werden.

Im beschriebenen Modell mit sehr vielen Kugeln ließe sich ein Gesetz formulieren, das die Gleichverteilung als einzig beobachtbare Verteilung postuliert. Dieses Gesetz ist formal falsch, aber für statistische Aussagen in realen Szenarien praktisch richtig.

Formulierung statistischer Naturgesetze

Bei der Formulierung statistischer Naturgesetze muss man zunächst das zu beschreibende System über Erhaltungsgrößen eingrenzen. Besitzt das System die Erhaltungsgröße E, dann wird postuliert, dass alle Zustände, die ohne Verletzung dieser Erhaltungsgröße erreichbar sind, gleichwahrscheinlich realisiert werden (Ergodizität). Als nächstes ermittelt man über physikalische Modelle die Zahl der möglichen Zustände g in Abhängigkeit von dieser Erhaltungsgröße: g=g(E).

Bringt man zwei Systeme S₁ und S₂ in Wechselwirkung und ermöglicht den Austausch der Erhaltungsgrößen E₁ und E₂, so gilt für die Zahl der Zustände des Gesamtsystems S:

$g=g\_1\backslash ,g\_2$

Das Gesamtsystem hat eine wahrscheinlichste Verteilung bei der gilt:

$0=g\text{'}=\backslash frac\{d\; g\_1\}\{dE\_1\}\backslash ,g\_2+\backslash frac\{d\; g\_2\}\{dE\_2\}\backslash ,g\_1$

Wegen der Erhaltungseigenschaft von E=E₁+E₂=konstant gilt dE=dE₁=-dE₂ und

$\backslash frac\{1\}\{g\_1\}\backslash frac\{d\; g\_1\}\{dE\}=\backslash frac\{1\}\{g\_2\}\backslash frac\{d\; g\_2\}\{dE\}$

oder

$\backslash frac\{d\}\{dE\}\backslash ln\{g\_1\}=\backslash frac\{d\}\{dE\}\backslash ln\{g\_2\}$

Entropie

Die Größe s = ln g wird als die Entropie des Systems bezeichnet. Sie ist, bis auf einen Vorfaktor (die Boltzmannkonstante k_B), identisch mit der thermodynamischen Entropie. Subsysteme s_i werden im Kontakt solange die Erhaltungsgröße E über ihre Kontaktgrenzen austauschen, bis paarweise gilt

$\backslash frac\{d\; s\_i\}\{dE\}\; =\; \backslash frac\{d\; s\_j\}\{dE\}$

Die Größen s_i und deren funktionale Abhängigkeit von E bestimmen damit vollständig den statistischen Gleichgewichtszustand des Gesamtsystems. Zustände außerhalb dieses Gleichgewichtszustandes sind zwar möglich, aber für hinreichend große Systeme so unwahrscheinlich, dass sie als praktisch unmöglich angesehen werden können.

Temperatur

Betrachtet wird ein System aus zwei Subsystemen, bei dem ein System viel größer als das andere ist. Das große System S wird die Erhaltungsgröße E mit dem kleinen System s austauschen. Bei ausreichend deutlichen Größenunterschied kann der funktionale Zusammenhang S(E) des großen Systems als linear angenommen werden werden, da E nur in kleinen Mengen ausgetauscht wird. Die Ableitung von S(E) ist dann eine Konstante und wird als die Temperatur T bezeichnet. Das große System spielt die Rolle eines statistischen Bades bezüglich der Erhaltungsgröße E. Es wird mit einem kleinen Systemen solange E austauschen, bis für das kleine System gilt

$\backslash frac\{d\; s\}\{dE\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{T\}$

Wird als konkrete Erhaltungsgröße die Energie eines Systems betrachtet, so ist k_B/T identisch mit der thermodynamischen Temperatur.

Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeit für das Beobachten eines Messwertes für E im System s in Kontakt mit einem Bad der Temperatur t ist gegeben durch den Vergleich der Zahl der Zustände g(E₁) und g(E₂) und ergibt die Boltzmann-Verteilung:

$\backslash Delta\; s\; =\; \backslash ln\{(g\_2/g\_1)\}\; =\; \backslash int\_\{E\_1\}^\{E\_2\}\; t\backslash ,dE\; =\; t\backslash ,(E\_2-E\_1)\backslash Rightarrow\; g\_1/g\_2\; =\; \backslash exp\{(-t\backslash ,\backslash Delta\; E)\}$

In einem Bad ist also nicht die Messgröße E (im statistischen Sinne) festgelegt, aber die statistische Verteilung dieser Größe entsprechend der Boltzmannverteilung. Das durch diese Verteilung beschriebene statistische Ensemble wird als kanonisches Ensemble bezeichnet.

Erweiterung auf mehr Erhaltungsgrößen

Werden Systeme mit zwei Erhaltungsgrößen E und N betrachtet, so ist die Entropie S als Funktion von E und N zu formulieren. Das große System stellt dann für jede Erhaltungsgröße ein Bad einer bestimmten Temperatur dar: $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; E\}\; =\; t$, $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; N\}\; =\; m$.

Für das kleine System gilt im statistischen Gleichgewicht

$\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; E\}\; =\; t$

und

$\backslash frac\{\backslash partial\; s\}\{\backslash partial\; N\}\; =\; m$

Ganz analog erhält man dann für das statistische Ensemble in einem E-Bad der Temperatur t und einem N-Bad der Temperatur m den Zusammenhang

$g\_1/g\_2\; =\; \backslash exp\{(-t\backslash ,\backslash Delta\; E-m\backslash ,\backslash Delta\; N)\}$

Eine Erweiterung auf Systeme mit mehr als zwei Erhaltungsgrößen erfolgt analog.

Ist N die Teilchenzahl eines Systems, dann entspricht -tm dem chemischen Potential der Thermodynamik und das durch diese Verteilung beschriebene statistische Ensemble wird als großkanonisches Ensemble bezeichnet.

Wechselwirkungen mit der Umgebung

Betrachtet wird ein System s, dass sich in einem E-Bad mit der Temperatur t befindet. Die Entropie des Systems soll dabei nicht nur von E sondern auch von einem zusätzlichen Parameter V abhängen, der von der Umgebung vorgegeben werden kann: s=s(E,V). Die Änderung des Umgebungsparameters V wird dann zu einer Anpassung der statistischen Verteilung der Größe E im System führen.

Siehe auch: Statistische Mechanik, Entropie

Statistische Physik

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