Spirale

Eine Spirale ist eine Kurve, die um einen zentralen Punkt oder Achse verläuft und, je nach Laufrichtung, sich immer weiter von diesem/r entfernt oder annähert.

Spirale oder Schraube

TORUSJ Schraube und archimedische Spirale.PNG

Die Spirale wird des öfteren mit der völlig anders geformten Schraube verwechselt.

Während die prototypische Spirale ein Gebilde in der Ebene ist, wie zum Beispiel die Rillen einer Schallplatte, oder die Arme einer Spiralgalaxie, ist sowohl die Schraube als auch der Wendelbohrer ein räumliches Gebilde entlang des Mantels eines Zylinders.

Im ersten Bild liegt eine archimedische Spirale als schwarze Kurve unten auf dem Boden, während die Schraube als grüne Kurve an der Außenwandung des Zylinders sichtbar ist.

Die Überlagerungskurve von Spirale und Schraube, die im ersten Bild rot eingezeichnet ist, wird als konische Spirale oder kegelförmige Raumspirale bezeichnet.

Spiraltypen

Ebene Spiralen

SCHRAUB1 Schraube und hyperbolische Spirale.PNG

Man kann diese Spiralen mathematisch am besten als Koordinatengleichungen im ebenen Polarkoordinatensystem beschreiben, wobei r als Funktion von Φ dargestellt wird; Φ läuft im Allgemeinen bis unendlich anstatt nur bis 2π. Im Folgenden sind jeweils eine Formel für r(Φ) und die Länge s der Spirale von Φ = 0 weg angegeben.

Die archimedische Spirale entsteht z. B. beim Aufwickeln eines gleichmäßig dicken Teppichs.

r(\phi) = a \cdot \phi

s(\phi) = \frac{a}{2} \cdot \left(\ln\left(\sqrt{\phi^2+1}+\phi\right) + \phi \cdot \sqrt{\phi^2+1}\right)

Die logarithmische Spirale entsteht z. B. beim Wachstum von Schneckenhäusern.

r(\phi) = b \cdot e^{a \cdot \phi}

Länge vom Koordinatenursprung (

\phi = -\infty

) weg:

s(\phi) = \frac{b \cdot e^{a \cdot \phi} \cdot \sqrt{a^2+1}}{a}

Die hyperbolische Spirale, schwarze Kurve oben im zweiten Bild, sieht man z. B. beim senkrechten Blick durch eine Wendeltreppe (siehe auch die Zentralprojektion).

r(\phi) = \frac {a}{\phi}

In dieser Gleichung läuft die Spirale mit wachsendem Φ von außen (unendlich ferner Punkt bei Φ=0) nach innen; die Entfernung auf der Spirale von einem beliebigen Punkt der Spirale bis zum Koordinatenursprung ist jedoch auch unendlich, deshalb ist hier die Entfernung zwischen zwei Punkten mit den Winkeln Φ und Θ angegeben.

s(\phi,\theta) = a \cdot \left(\frac{\sqrt{\phi^2+1}}{\phi} - \frac{\sqrt{\theta^2+1}}{\theta} - \ln\left(\left(\sqrt{\phi^2+1}+\phi\right) \cdot \left(\sqrt{\theta^2+1}-\theta\right)\right)\right)

Es existieren noch einige weitere mathematische Funktionen, die ebene Spiralen erzeugen.

Dreidimensionale Spiralen

Konische Spirale entlang eines Kreises. Eine Überlagerung von Schraube und Spirale, entlang des Mantels eines Kegels, dessen Mittellinie zu einem Kreis gekrümmt ist. Frei nach M. C. Escher, siehe in den unten stehenden Links.

TORUSA-4 Konische Spirale entlang eines Kreises.PNG

Der dieser Zeichnung zugrunde liegende Kegelmantel erinnert an das Ouroboros-Motiv, und kann als ein Torus mit stetig zunehmenden Ringdurchmesser aufgefasst werden:

TORUSA-1 Torus mit variablem Ringdurchmesser.PNG

KUGSPI-5 Archimedische Kugelspirale.gif

Die Archimedische Kugelspirale (linkes Bild):

Bei einer archimedischen Spirale vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt linear zum anwachsenden Winkel ihres Umlaufes. Auf einer Kugeloberfläche wird dieser Abstand als der Winkelabstand von einem ihrer Pole gemessen. Daher ist die Archimedische Kugelspirale eine Linie von endlicher Länge, und nicht mit der Loxodrome (rechtes Bild) identisch.

Spiralen in der Natur

Viele Pflanzen weisen in ihrer in Ihrem Bauplan spiralige Strukturen auf. Die Anordnung dieser Bio-Spiralen wiederum erfolgt in den allermeisten Fällen als Fibonacci-Folge. Eine Fülle an Beispielen für Spiralen im Pflanzenreich findet sich hier: ^*.

Spiralmodelle der Sozialwissenschaft

In den Sozialwissenschaften mit ihren multikausalen Zusammenhängen wird komplexitätsreduzierend auf sie zurück gegriffen: So in der Behindertenforschung von Erika Schuchardt und in der sogenannten Schweigespirale von Elisabeth Noelle-Neumann. Beide befassen sich - allzu grob vereinfacht - mit labilen menschlichen Seiten: So geht es darum, dass "noch nicht Behinderte" die anderen vernachlässigen. Auch bei der anderen Spirale zeigt sich ein fehlendes Ethos, wenn Menschen, auch Journalisten, ((die die Gesellschaft kritisch zu begleiten haben)), Mitläufer sind.

Siehe auch

Liste geometrischer Kurven

Weblinks

http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm
http://www.mcescher.com/ - Gallery - Back in Holland - Spirals 1953
http://www.mcescher.com/ - Gallery - Recognition and Success - Spher Spirals 1958

Geometrie | Geometrische Kurve

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