Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung (ρ,V) einer Spin-Gruppe. Die Spin-Gruppe ist isomorph zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra, jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder quaternionischen Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe Spin(1,3), die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen SO(1,3) des Minkowski-Raums gehört.

Spinoren der Quantenphysik

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Struktur der Gruppe Spin(1,3)

Die Gruppe Spin(1,3) ist eine Teilmenge des geraden Teils Cℓ⁰(1,3) der Clifford-Algebra Cℓ(1,3). Die gesamte Algebra wird von den 4 kanonischen Basisvektoren e₀,e₁,e₂,e₃ des 4-dimensionalen Minkowski-Raums M⁴ mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis) $Q(\backslash vec\; x)=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$ erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren, für ihre Quadrate gilt v²=-Q(v), also (e₀)² = -1, (e₁)² = (e₂)² = (e₃)² = 1.

Die Unteralgebra Cℓ⁰(1,3) der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die e₀ enthalten, :f₁:=e₀e₁, :f₂:=e₀e₂, :f₃:=e₀e₃. Diese antikommutieren ebenfalls, ihre Quadrate haben den Wert 1.

Die fehlenden zweifachen Produkte bilden eine "doppelt gerade" Unteralgebra, die von geraden Produkten der f_k erzeugt wird:

g₁:=-f₂f₃ =-e₂e₃

g₂:=-f₃f₁ =-e₃e₁

g₃:=-f₁f₂ =-e₁e₂

Die von den g_k erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit Rücksicht auf die Pauli-Matrizen identifizieren wir g₁=j; g₂=k; g₃=i, genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement

ω = e₀e₁e₂e₃ = -f₁g₁ = -f₂g₂ = -f₃g₃.

Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt ω²=-1.

Isomorphe Matrixalgebra

Es ist leicht zu sehen, dass (ω,g₁,g₂) die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als Cℓ¹(1,3)=e₀Cℓ⁰(1,3) zu erhalten ist. Insgesamt gilt:

• (ω,e₀) und (g₁,g₂) erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
• diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
• spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus φ

$C\backslash ell\; (1,3)\backslash simeq\; \backslash mathbb\; H\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H$,

der eingeschränkt einen Isomorphismus

$C\backslash ell^0(1,3)\backslash simeq\; \backslash mathbb\; C\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H$

ergibt.

Es sei im folgenden immer ℂ=ℝ^*, wobei i eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:

φ(ω):=i⊗1, φ(e₀):=k⊗1,

φ(g₁):=1⊗j, φ(g₂):=1⊗k, φ(g₃):=1⊗i.

Als Folge daraus ergeben sich mit f_k = ωg_k und e_k = -e₀f_k

φ(f₁):=i⊗j, φ(f₂):=i⊗k, φ(f₃):=i⊗i,

φ(e₁):=-j⊗j, φ(e₂):=-j⊗k, φ(e₃):=-j⊗i.

Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren

Es gibt einen Isomorphismus $\backslash rho:\backslash mathbb\; H\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H\backslash to\; \backslash mbox\{Hom\}\_\{\backslash mathbb\; R\}(\backslash mathbb\; H,\backslash mathbb\; H)$, der einem Tensorprodukt a⊗b die Abbildung $x\backslash mapsto\backslash rho(a\backslash otimes\; b)(x):=bx\backslash bar\; a$ zuordnet. Damit ist $\backslash rho\_M:=\backslash rho\backslash circ\backslash phi$ eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.

Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren

Wir definieren eine bijektive Abbildung $S:\backslash mathbb\; C^2\backslash to\backslash mathbb\; H$ als $S(z^1,z^2):=\backslash mathfrak\; k\backslash ,\backslash bar\; z^1+\backslash bar\; z^2$. Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d.h. $S(wz^1,wz^2):=S(z^1,z^2)\backslash bar\; w$. Sei $\backslash theta:=S^\{-1\}$ die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir

$\backslash rho\_W:C\backslash ell^0(1,3)\backslash to\; M\_2(\backslash mathbb\; C)$, durch $\backslash rho\_W(c)(z^1,z^2):=(\backslash theta\backslash circ\backslash rho\_M(x)\backslash circ\; S)(z^1,z^2)$,

d.h. einem Element φ(c)=w⊗q aus $\backslash mathbb\; C\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H$ wird die Abbildung, die durch

$\backslash rho(w\backslash otimes\; q)(S(z^1,z^2))=qS(z^1,z^2)\backslash bar\; w=qS(z^1w,z^2w)$

gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z.B.

$\backslash rho\_W(\backslash mathbf\; f\_1)(z^1,z^2)\; =\; \backslash theta(\backslash rho(-\backslash mathfrak\{i\}\backslash otimes\backslash mathfrak\{j\})(S(z^1,z^2))\; =\; \backslash theta(\backslash mathfrak\{jk\}\backslash bar\{z^1\}\backslash mathfrak\{i\}+\backslash mathfrak\{j\}\backslash bar\{z^2\}\backslash mathfrak\{i\})\; =\; (-z^2,-z^1)$.

Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix $\backslash sigma\_1$, analog gilt f₂↦σ₂ und f₃↦σ₃.

Somit ist $\backslash rho\_W$ eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der Spin(1,3)-Gruppe. Diese Darstellung von $C\backslash ell^0(1,3)$ heißt Weyl-Spinor-Darstellung, nach Hermann Weyl.

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung $\backslash bar\backslash rho\_W(c)(z):=(\backslash bar\backslash theta\backslash circ\backslash rho\_M(x)\backslash circ\; \backslash bar\; S)(x)$, wobei $\backslash bar\; S(z\_1,z\_2)=jS(z\_1,z\_2)=\backslash bar\; z^1j-\backslash bar\; z^2$

Dirac-, Weyl- und Majorana-Spinoren

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Eine treue Darstellung ist eine injektive Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes Lemma: Sind A, B selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf V mit A²=B²=I und AB=-BA, so zerfällt V in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume V₊:=ker(I-A) und V_-:=ker(I+A)=BV₊. Das Tripel (V,A,B) läßt sich isomorph abbilden auf

$V=\backslash mathbb\; K^2\backslash otimes\; V\_+$, ,

I₊ ist die Identität auf 'V₊''. Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als das Kronecker-Produkt von Matrizen aufgefasst werden.

Weyl-Spinoren

Eine Weyl-Spinor-Darstellung, nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von Spin(1,3). Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra Cℓ⁰(1,3).

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung (ρ,V) von Cℓ⁰(1,3) in einen hermiteschen Vektorraum V vorliegen. Dabei sind die Bilder ρ(f_k) (der Kürze wegen lassen wir im weiteren das ρ weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von V in sich.

A:=f₃ und B:=f₁ erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung

$V=\backslash mathbb\; C^2\backslash otimes\; V\_+$ mit und

übergehen.

Um die Gestalt von f₂ einzuschränken, betrachten wir das Produkt f₁f₂ und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln

$(f\_1f\_2)f\_3=f\_3(f\_1f\_2)$ und $(f\_1f\_2)f\_1=-f\_1(f\_1f\_2)$

sich folgende Gestalt zwingend ergibt

mit $(\backslash mathbf\; g\_\{12\})^2=-1$.

Da der Vektorraum V₊ komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume V₊₊ und V_+- aufspalten, auf welchen g₁₂ wie i oder -i wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die Pauli-Matrizen, denn wenn g₁₂=i, so ist

.

Im minimalen Fall ist V₊₊=ℂ, V_+-={0} oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte Weyl-Spinor-Darstellungen.

Dirac-Spinoren

In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das "wie" ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist die kleinste komplexe Darstellung von Cℓ(1,3).

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von e₁. Es kommutiert mit f₃ und antikommutiert mit f₁, wie oben stellen wir fest, dass

mit $(\backslash mathbf\; g\_\{1\})^2=1$.

Man überzeugt sich, dass g₁ die Unterräume V₊₊ und V_+- vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter Faktorisierte ersetzen:

$V=\backslash mathbb\; C^2\backslash otimes\; \backslash mathbb\; C^2\backslash otimes\; V\_\{++\}$ mit den Bildern der Generatoren

Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit V₊₊=ℂ (und jede dazu isomorphe).

Majorana-Spinoren

Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von Cℓ(1,3). Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher g₁ und g₁₂ auf V₊ definiert sind. Hier können wir nun V₊ nach A=g₁ zerlegen in V₊₊:=ker(I-A) und V_+-:=ker(I+A), B=g₁₂ vertauscht beide Unterräume, allerdings ist B²=-I, somit

$V\_+=\backslash mathbb\; R^2\backslash otimes\; V\_\{++\}$ mit und

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für V₊₊=ℝ

$V=\backslash mathbb\; C^2\backslash otimes\; \backslash mathbb\; C^2$ mit den Bildern der Generatoren

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