Jemand legt $K\_0$ Euro auf ein Sparkonto und fügt in den folgenden n Jahren jeweils am Jahresende r Euro dazu. Auf dem Sparkonto würde die Bank am Ende jedes Jahres den Zins des bisherigen Kapitals nachtragen und die neue Einlage gutschreiben. Anstatt in n Schritten das Guthaben nach n Jahren zu bestimmen, berechnen wir mit der Zinseszinsformel den Wert, auf welchen die anfängliche Einmaleinlage anwächst:

$K\_n=K\_0\backslash cdot\; q^n$

(q steht für den Aufzinsfaktor $q=1+\backslash frac\{p\}\{100\}$, wobei p der Zinsfuss in Prozent ist.)

Die jährlichen Zahlungen deuten wir als Rente, deren Endwert wir mit der Rentenformel für nachschüssige Renten bestimmen:

$E=r\backslash cdot\backslash frac\{q^n-1\}\{q-1\}$

Somit beträgt das Gesamtguthaben

$S=K\_0\backslash cdot\; q^n+r\backslash cdot\backslash frac\{q^n-1\}\{q-1\}$.

Diese Formel heisst 1. Sparkassenformel.

Werden die jährlichen Beträge nicht einbezahlt sondern abgehoben, erhält man entsprechend die 2. Sparkassenformel:

$S=K\_0\backslash cdot\; q^n-r\backslash cdot\backslash frac\{q^n-1\}\{q-1\}$.

Werden die periodischen Einzahlungen resp. Abhebungen nicht am Jahresende sondern am Jahresanfang getätigt, rechnet man mit der Endwertformel für vorschüssige Renten. (Die Situation ist zwar etwas künstlich: Wer zahlt schon $K\_0$ Euro ein und hebt dann sofort wieder r Euro ab?). Man erhält dann die Varianten

$S=K\_0\backslash cdot\; q^n+r\backslash cdot\backslash frac\{q(q^n-1)\}\{q-1\}$

und

$S=K\_0\backslash cdot\; q^n-r\backslash cdot\backslash frac\{q(q^n-1)\}\{q-1\}$.

Siehe auch: Finanzmathematik, Rentenrechnung, Zinseszins, Zinseszinsformel

Weblinks

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• http://www.bennoehr.com/zinseszins_mit_raten.htm
  • Javascript zur Lösung von Standardaufgaben zur Zinseszinsrechnung: Berechnung von Anfangskapital, Endkapital, Zeit, Rate, Zinssatz

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