Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der die mechanischen Spannungen an einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt.

In einer gedachten Schnittfläche durch die Materie übt die in Gedanken weggeschnittene Materie auf die verbliebene Materie eine Spannung aus, die sich als Spannungsvektor aus einer Zugspannungskomponente (rechtwinklig zur Schnittfläche wirkend) und zwei Schubspannungskomponenten (in der Schnittfläche wirkend) zusammensetzt.

Am jeweiligen Ort schneiden sich drei solche gedachten Schnittflächen, und die drei Spannungsvektoren in ihnen werden zum Spannungstensor zusammengefasst:

$\backslash underline\{\backslash underline\{\backslash sigma\}\}\; =\; \backslash sum\_\{i,j=1\}^\{3\}\; \backslash sigma^\{ij\}\; \backslash ,\backslash underline\{e\}\_i\; \backslash otimes\; \backslash underline\{e\}\_j$.

Dabei bezeichnen $\backslash underline\{e\}\_1,\; \backslash underline\{e\}\_2,\; \backslash underline\{e\}\_3$ die Basisvektoren des Koordinatensystems und $\backslash otimes$ das dyadische Produkt (Tensorprodukt zweier Vektoren).

Folgende Skizze verdeutlicht dies am Beispiel eines herausgeschnittenen sehr kleinen Volumenelements für kartesische Koordinaten; die Betrachtungen gelten für die rechte obere hintere Ecke:

Spannung.png

In einer konkreten Schnittfläche, deren Orientierung durch ihren nach außen gerichteten Normalenvektor $\backslash underline\{n\}$ beschrieben wird, ergibt sich der Spannungsvektor $\backslash underline\{s\}$, indem man den Spannungstensor mit dem Normalenvektor skalarmultipliziert:

$\backslash underline\{s\}\; =\; \backslash underline\{\backslash underline\{\backslash sigma\}\}\; \backslash cdot\; \backslash underline\{n\}$ .

Das Wort „Spannungstensor“ stellt eine Tautologie dar, da bereits der Begriff „Tensor“ auf das lateinische tensio, „Spannung“, zurückgeht.

Siehe auch:

• Verzerrungstensor
• Kontinuumsmechanik

Technische Mechanik