Ein Sobolew-Raum (nach Sergei Lwowitsch Sobolew, in englischer Umschrift Sobolev) ist in der Mathematik ein Funktionenraum, der gleichzeitig ein Banachraum ist und schwach differenzierbare Funktionen enthält. Das Konzept wurde durch die systematische Theorie der Variationsrechnung Anfang des 20. Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben. Diese minimiert Funktionale über Funktionen. Heute bilden Sobolew-Räume die Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

Sobolew-Räume ganzzahliger Ordnung

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Sobolew-Raum (schwache Ableitungen)

Es sei $\backslash Omega\; \backslash subset\; \backslash R^n$ offen. Der Raum derjenigen reellwertigen Funktionen $u\backslash in\; L^p(\backslash Omega)$, deren gemischte partielle schwachen Ableitungen bis zur Ordnung $k$ in $L^p(\backslash Omega)$ liegen, ist der Sobolew-Raum $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$.

Sobolew-Norm

Für Funktionen $u\backslash in\; W^\{k,p\}(\backslash Omega)$ definiert man die $W^\{k,p\}$-Norm durch

$\backslash |u\backslash |\_\{W^\{k,p\}(\backslash Omega)\}\; =\; \backslash left(\backslash sum\_\{|\backslash alpha|\; \backslash le\; k\}\; \backslash |\backslash partial^\backslash alpha\; u\backslash |\_\{L^p(\backslash Omega)\}^p\backslash right)^\{1/p\}$

für bzw.

$\backslash |u\backslash |\_\{W^\{k,\backslash infty\}(\backslash Omega)\}\; =\; \backslash max\_\{|\backslash alpha|\backslash le\; k\}\; \backslash |\backslash partial^\backslash alpha\; u\backslash |\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}.$

Der Sobolew-Raum $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$ist bzgl. dieser Norm vollständig.

Sobolew-Raum (Topologischer Abschluss)

Betrachten wir nun den Raum der $C^\backslash infty(\backslash Omega)$-Funktionen, deren partielle Ableitungen bis zum Grad $k$ in $L^p(\backslash Omega)$ liegen, und bezeichnen diesen Funktionenraum mit $C^\{k,p\}(\backslash Omega)$. Da $C^\{k,p\}$-Funktionen nie zueinander $L^p$-äquivalent (s.a. Lp-Raum) sind, kann man $C^\{k,p\}(\backslash Omega)$ in $L^p(\backslash Omega)$ einbetten und es gilt folgende Inklusion

$C^\{k,p\}(\backslash Omega)\backslash subset\; W^\{k,p\}(\backslash Omega)\backslash subset\; L^p(\backslash Omega)$

Der Raum $C^\{k,p\}(\backslash Omega)$ ist bzgl. der $W^\{k,p\}$-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessen Vervollständigung gerade $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$. Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k können als stetige Operatoren auf diesen Sobolew-Raum eindeutig stetig fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen sind gerade die schwachen Ableitungen.

Somit erhält man eine alternative, äquivalente Definition von Sobolevräumen (Satz von Meyers-Serrin).

Eigenschaften

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Banachraum / Hilbertraum

Wie bereits erwähnt, ist $W^\{k,p\}(\backslash Omega)$ mit der Norm $\backslash |\{\backslash cdot\}\backslash |\_\{W^\{k,p\}(\backslash Omega)\}$ ein Banachraum. Für ist er sogar reflexiv.

Für $p=2$ wird die Norm durch das Skalarprodukt

$(u,v)\_\{W^\{k,2\}(\backslash Omega)\}\; :=$

\sum_{|\alpha|\le k} (\partial^\alpha u, \partial^\alpha v)_{L^2(\Omega)} induziert. $W^\{k,2\}(\backslash Omega)$ ist daher ein Hilbertraum, und man schreibt auch $H^k(\backslash Omega)\; :=\; W^\{k,2\}(\backslash Omega)$.

Einbettungssätze und Sobolewzahl

Mit den obigen Bezeichnungen bildet man die Sobolewzahl

$\backslash gamma\; =\; k\; -\; \backslash frac\{n\}\{p\}$.

Mithilfe dieser Zahl lassen sich die Beziehungen zwischen Sobolewräumen einfach darstellen. Sei $\backslash Omega$ beschränkt in $\backslash mathbb\; R^n$ und $\backslash Omega\text{'}\; \backslash subset\backslash Omega$ eine Teilmenge oder eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension $n\text{'}$. Dann gilt der Sobolewsche Einbettungssatz

$$

\gamma\ge\gamma' \land k\ge k' \quad\Rightarrow\quad W^{k,p}(\Omega) \subset W^{k',p'}(\Omega').

Die Teilmengenbeziehung ist als stetige Einbettung zu verstehen. Falls $\backslash Omega\text{'}\backslash subset\backslash Omega$, handelt es sich dabei um die Restriktionsabbildung $f\; \backslash mapsto\; f|\_\{\backslash Omega\text{'}\}$. Die Einbettung ist kompakt, falls $\backslash gamma\; >\; \backslash gamma\text{'}$ und $k\; >\; k\text{'}$.

Sobolew-Raum reellwertiger Ordnung

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Oft werden auch Sobolew-Räume mit reellen Exponenten s benutzt. Diese sind über die Fourier-Transformierte der beteiligten Funktionen definiert. Eine $L^2(\backslash Omega)$-Funktion ist ein Element von $\backslash mathcal\; H^s(\backslash Omega)$, falls gilt

$(1+|\backslash zeta|)^s\backslash cdot\; \backslash hat\; f(\backslash zeta)\backslash in\; L^2(\backslash mathbf\; R)$.

Literatur

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H.-W. Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer, 1985, ISBN 3-540-15280-6

R. A. Adams: Sobolev Spaces, Academic Press, 1975

Siehe auch: Funktionalanalysis

Funktionalanalysis

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