Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz) besagt, dass ein Lichtstrahl seine Richtung ändert - man sagt gebrochen wird, wenn er von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium übergeht. Das Gesetz gilt für alle Wellenarten. Es besagt nur, in welche Richtung die Welle abgelenkt wird, nicht aber, wie viel von der Welle an dem Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Es muss dann komplex gerechnet werden. Wie viel Licht transmittiert bzw. reflektiert wird, ergibt sich aus den fresnelschen Formeln.

Snellius-Brechungsgesetz.png

Das Brechungsgesetz scheint zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl erwähnt worden zu sein. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast gleichzeitig von René Descartes beschrieben.

Mit $\backslash lambda\_1\; =\; c\_1\; t$ als der zusätzlichen Wegstrecke im Medium 1, $\backslash lambda\_2\; =\; c\_2\; t$ als der zusätzlichen Wegstrecke im Medium 2 (c_1,2: Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t: zusätzliche Laufzeit) und $\backslash delta\_1$ bzw. $\backslash delta\_2$ dem Ein- bzw. Ausfallswinkel gilt:

$\backslash sin(\backslash delta\_1)\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\_1\}\{AB\text{'}\}$

bzw.

$\backslash sin(\backslash delta\_2)\; =\; \backslash frac\{\backslash lambda\_2\}\{AB\text{'}\}$

Die Ein- bzw. Ausfallswinkel werden zum Lot auf die Oberfläche angegeben. Da hier aber nicht die Richtung des Lichtes, sondern die der Wellenfront eingezeichnet ist, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, sind die Winkel $\backslash delta\_1$ bzw. $\backslash delta\_2$ von der Wellenfront zur Oberfläche eingezeichnet.

Weiterhin gilt:

$Re(n\_1)\; =\; \backslash frac\{c\_0\}\{c\_1\}$

bzw.

$Re(n\_2)\; =\; \backslash frac\{c\_0\}\{c\_2\}$,

d.h. der Realteil der i.a. komplexen Brechzahl n gibt das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit $c\_0$ von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit $c\_n$ von Licht in Materie an. Daraus ergibt sich dann

$\backslash frac\{\backslash sin(\backslash delta\_1)\}\{\backslash sin(\backslash delta\_2)\}\; =\; \backslash frac\{c\_1\}\{c\_2\}\; =\; \backslash frac\{n\_2\}\{n\_1\}$

wobei n₁ und n₂ die Brechzahlen der jeweiligen Medien sind. Die Brechzahl hat keine Einheit und ist somit eine Zahl. Diese hängt sowohl von der Art des Mediums als auch von der Wellenlänge des Lichts ab. Der sich aus dieser Abhängigkeit ergebende Effekt, dass durch den Übergang von einem optischen Medium ins andere Lichtstrahlen unterschiedlicher Wellenlänge voneinander getrennt werden, wird in der Optik als Dispersion bezeichnet.

Somit erhält man folgenden grafischen Zusammenhang zwischen den Winkeln $\backslash delta\_1$ und $\backslash delta\_2$:

Brechungsgesetz-Winkel.png

SnellFermat.png Das Snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des Fermat-Prinzips. Der Beweis berechnet den optischen Weg zwischen zwei Punkten A (im Medium 1) und B (im Medium 2) in Abhängigkeit der Lage und setzt dann die Ableitung auf 0 (Forderung des Fermat-Prinzips):

$OW(A\; \backslash rightarrow\; B)\; =\; n\_1l\_1\; +\; n\_2l\_2$

nach dem Satz des Pythagoras folgt

$=\; n\_1\backslash sqrt\{\{h\_1\}^2\; +\; x^2\}\; +\; n\_2\backslash sqrt\{\{h\_2\}^2\; +\; (d-x)^2\}$

Setzt man dessen Ableitung (z.B. nach $x$) auf 0 erhält man

$\backslash frac\{dOW\}\{dx\}\; =\; n\_1\; \backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\; -\; n\_2\backslash frac\{d-x\}\{\backslash sqrt=\; n\_1\backslash sin(\backslash delta\_1)\; -n\_2\backslash sin(\backslash delta\_2)\; =\; 0$

und daher

$n\_1\backslash sin(\backslash delta\_1)\; =\; n\_2\backslash sin(\backslash delta\_2)$

was der oben genannten Formulierung entspricht.

Geometrische Optik | Wellenlehre | 1618

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