In der Mathematik und vielen ihrer Anwendungsbereiche versteht man unter dem Skalarprodukt, inneren Produkt oder Punktprodukt zweier Vektoren eine Zahl, welche Informationen über die Längen und die relative Lage der Vektoren zueinander liefert: Zwei Vektoren (von denen keiner der Nullvektor ist) stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist; zeigen sie hingegen in dieselbe Richtung, so ist das Skalarprodukt das (gewöhnliche) Produkt ihrer Längen.

Notation

Bevor auf Bedeutungen und Definitionen des Skalarproduktes eingegangen wird, werden zunächst die verschiedenen hauptsächlich benutzten Schreibweisen vorgestellt.

• Vor allem in der Mathematik werden üblicherweise spitze Klammern verwendet: $\backslash langle\; x,y\backslash rangle$.
• Daneben existiert auch die Schreibweise $x\backslash cdot\; y$, wenn klar festgelegt ist, aus welchen Räumen $x$ und $y$ kommen.
• In der Schulmathematik und den angewandten Wissenschaften werden meist Vektoren durch eine besondere Notation als solche kenntlich gemacht (meist $\backslash vec\; x$ mit Pfeil, oft auch $\backslash mathbf\{x\}$ mit Fettdruck); dann wird bevorzugt das Multiplikationszeichen geschrieben: $\backslash vec\{x\}\backslash cdot\; \backslash vec\{y\}$.

Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können: $\backslash vec\{x\}\backslash cdot\; \backslash vec\{y\}$= $\backslash vec\{x\}\backslash vec\{y\}$ ist ein Skalarprodukt, $a\; \backslash cdot\; \backslash vec\{x\}$ dagegen ist eine Skalarmultiplikation.

Auch in diesem Artikel werden verschiedene Schreibweisen verwendet, um deren adäquate Anwendung zu demonstrieren.

Definition im endlichdimensionalen Euklidischen Raum (Kanonisches Skalarprodukt oder Standardskalarprodukt)

In der linearen Algebra ist das Skalarprodukt oder innere Produkt zweier Vektoren

$\backslash vec\{a\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; a\_1\; \backslash \backslash \; a\_2\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; a\_n\; \backslash end\{pmatrix\}$    und   $\backslash vec\{b\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; b\_1\; \backslash \backslash \; b\_2\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; b\_n\; \backslash end\{pmatrix\}$

des n-dimensionalen Euklidischen Raumes als jene reelle Zahl definiert, die sich als Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren ergibt:

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; :=\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_ib\_i\; =\; \{a\_1\}\{b\_1\}+\{a\_2\}\{b\_2\}+\backslash dots\; +\; \{a\_n\}\{b\_n\}$.

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum berechnet man also das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zum Beispiel als

$$

\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-7) + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 36 .

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, die Länge eines Vektors zu berechnen: nach dem Satz des Pythagoras gilt

$|\; \backslash vec\{a\}\; |\; =\; \backslash sqrt$.

Insbesondere gilt

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{a\}\; \backslash geq\; 0$.

Damit diese Eigenschaft erhalten bleibt, definiert man im Fall des komplexen Vektorraums $\backslash mathbb\{C\}^n$ über dem Körper $\backslash mathbb\{C\}$ das Skalarprodukt folgendermaßen:

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; :=\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\backslash overline\{b\_i\}\; =\; \{a\_1\}\backslash overline\{b\_1\}+\{a\_2\}\backslash overline\{b\_2\}+\backslash dots\; +\; \{a\_n\}\backslash overline\{b\_n\}$

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. Alternativ könnte man auch

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; :=\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash overline\{a\_i\}b\_i\; =\; \backslash overline\{a\_1\}\{b\_1\}+\backslash overline\{a\_2\}\{b\_2\}+\backslash dots\; +\; \backslash overline\{a\_n\}\{b\_n\}$

definieren. Beide Definitionen sind theoretisch an sich gleichwertig; in der Praxis ist es aber zweckmäßig, sich auf eine einzige Definition zu einigen, wobei anscheinend in der Literatur die Mathematiker die Version $\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\backslash overline\{b\_i\}$ bevorzugen, die Physiker hingegen die Version $\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash overline\{a\_i\}\; b\_i$.

Eigenschaften

• Während das Skalarprodukt im reellen Fall symmetrisch ist ($\backslash langle\; x,y\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; y,x\backslash rangle$), ist es im komplexen Fall hermitesch ($\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle=\backslash overline\{\backslash langle\; y,x\; \backslash rangle\}$).
• Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ (und kann es im eigentlichen Sinne auch gar nicht sein, weil sein Wert ein Skalar und nicht wieder ein Vektor ist).
• Das Skalarprodukt ist distributiv bezüglich der Vektoraddition und Subtraktion.

Allgemeine Definition

• Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform $\backslash langle\{\backslash cdot\},\{\backslash cdot\}\backslash rangle\backslash colon\; V\backslash times\; V\backslash to\backslash mathbb\; R$, d.h. für $x,y,z\backslash in\; V$ und $\backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\; R$ gelten die folgenden Bedingungen:
  1. bilinear:
     • $\backslash langle\; x+y,z\backslash rangle=\backslash langle\; x,z\backslash rangle+\backslash langle\; y,z\backslash rangle$
     • $\backslash langle\; x,y+z\backslash rangle=\backslash langle\; x,y\backslash rangle+\backslash langle\; x,z\backslash rangle$
     • $\backslash langle\; x,\backslash lambda\; y\backslash rangle=\backslash lambda\backslash langle\; x,y\backslash rangle=\backslash langle\backslash lambda\; x,y\backslash rangle$
  2. symmetrisch: $\backslash langle\; x,y\backslash rangle=\backslash langle\; y,x\backslash rangle$
  3. positiv definit: $\backslash langle\; x,x\backslash rangle\backslash geq0,$ und $\backslash langle\; x,x\backslash rangle=0$ nur für $x=0$
• Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum $V$ ist eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform $\backslash langle\{\backslash cdot\},\{\backslash cdot\}\backslash rangle\backslash colon\; V\backslash times\; V\backslash to\backslash mathbb\; C$, d.h. für $x,y,z\backslash in\; V$ und $\backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\; C$ gelten die folgenden Bedingungen:
  1. sesquilinear:
     • $\backslash langle\; x+y,z\backslash rangle=\backslash langle\; x,z\backslash rangle+\backslash langle\; y,z\backslash rangle$
     • $\backslash langle\; x,y+z\backslash rangle=\backslash langle\; x,y\backslash rangle+\backslash langle\; x,z\backslash rangle$
     • $\backslash langle\; x,\backslash lambda\; y\backslash rangle=\backslash lambda\backslash langle\; x,y\backslash rangle=\backslash langle\backslash bar\backslash lambda\; x,y\backslash rangle$
  2. hermitesch: $\backslash langle\; x,y\backslash rangle=\backslash overline\{\backslash langle\; y,x\backslash rangle\}$
  3. positiv definit: $\backslash langle\; x,x\backslash rangle\backslash geq0$, und $\backslash langle\; x,x\backslash rangle=0$ nur für $x=0$. (Dass $\backslash langle\; x,x\backslash rangle$ reell ist, folgt aus Bedingung 2.)

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum; ist er darüber hinaus auch noch vollständig bezüglich der durch das innere Produkt generierten Norm, wird er als Hilbertraum bezeichnet.

Abweichende Definitionen:

• Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen „positiv definite Skalarprodukte“.
• Im komplexen Fall ließe sich das Skalarprodukt alternativ als semilinear im zweiten und linear im ersten Argument definieren. In der Physik wird jedoch die obige Variante durchgängig benutzt (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Siehe hierzu auch den Abschnitt „Skalarprodukt als Matrizenprodukt“ weiter unten.

Abgrenzung zu anderen Produkten

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Das Skalarprodukt ist von mehreren anderen Produkten zu unterscheiden, die in einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ definiert sein können:

Skalare Multiplikation

Das Skalarprodukt ist eine Funktion von $V\; \backslash times\; V$ nach $K$. Die skalare Multiplikation, also die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, ist eine Funktion von $K\; \backslash times\; V$ nach $V$ und ist per Definition in jedem Vektorraum definiert.

Kreuzprodukt

Wenn der Vektorraum die Dimension $n=3$ hat, kann man ferner ein Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, definieren, das eine Funktion von $V\; \backslash times\; V$ nach $V$ ist. (In höherdimensionalen Räumen hat man eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts, das dann mehr als zwei Vektoren verknüpft.)

Äußeres Produkt

Das äußere Produkt ist eine Verknüpfung für Multilinearformen. Manchmal wird auch das Kreuzprodukt äußeres Produkt genannt.

Spatprodukt

Das Spatprodukt in einem dreidimensionalen Raum schließlich entsteht durch Verknüpfung von Skalar- und Vektorprodukt; es ist eine dreistellige Funktion von $V\; \backslash times\; V\; \backslash times\; V$ nach $K$.

Skalarprodukt als Matrizenprodukt

Das Skalarprodukt lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als $n\; \backslash times\; 1$ Matrix interpretiert: Im reellen Fall gilt

$\backslash langle\; \backslash vec\{x\},\backslash vec\{y\}\backslash rangle\_A\; =\; \backslash vec\{x\}^TA\backslash vec\{y\}\; =\; \backslash vec\{y\}^TA\backslash vec\{x\}$,

wobei das T für die transponierte Matrix steht. $A$ ist in diesem Fall eine symmetrische, positiv definite Matrix.

Im komplexen Fall gilt (für den links linearen, rechts semilinearen Fall)

$\backslash langle\; \backslash vec\{x\},\; \backslash vec\{y\}\backslash rangle\_A\; =\; \backslash vec\{y\}^\{\backslash ,H\}A\backslash vec\{x\}$,

wobei das H für die Hermitesche adjungierte Matrix steht. $A$ ist in diesem Fall eine hermitesche, positiv definite Matrix.

$A$ heißt die Fundamentalmatrix des Skalarprodukts.

Wählt man in beiden Fällen für $A$ die Einheitsmatrix, so erhällt man das übliche Skalarprodukt.

Komponentenweises Produkt

Das komponentenweise Produkt wird in manchen Programmiersprachen (z. B. MATLAB) mit ".*" bezeichnet, z. B.

$$

\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \,\,{.*}\, \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 16 \\ 27 \end{pmatrix}.

In der Mathematik gibt es keine spezielle Notation dafür, insbesondere spielt das komponentenweise Produkt in der linearen Algebra keine besondere Rolle, da es wesentlich von der gewählten Basis abhängt und es daher keine anschauliche geometrische Interpretation dafür geben kann.

Skalarprodukt und Winkel

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Winkelberechnung im Euklidischen Raum

Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der analytischen Geometrie im Euklidischen Raum eingeführt worden. So ist es mit Hilfe des Skalarproduktes beispielsweise möglich, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen: Das Skalarprodukt ergibt sich nämlich auch aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels gemäß der Formel

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; =$$|\backslash vec\{a\}\; |\; \backslash cdot\; |\; \backslash vec\{b\}\; |\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash angle\; \backslash left(\backslash vec\{a\},\backslash vec\{b\}\backslash right)$

Um dies zu zeigen, mögen drei Vektoren, $\backslash vec\{a\},\backslash vec\{b\},\backslash vec\{c\}$ des Euklidischen Raumes betrachtet werden.

SkalarproduktSkizze.jpg

Wegen des Kosinussatzes ist die Länge des dem Winkel $\backslash gamma$ gegenüberliegenden Vektors

$|\backslash vec\{c\}|^2=|\backslash vec\{a\}|^2+|\backslash vec\{b\}|^2-2|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$

Da sich $\backslash vec\{c\}$ aus $\backslash vec\{b\}-\backslash vec\{a\}$ ergibt, erhält man

$|\backslash vec\{b\}-\backslash vec\{a\}|^2=|\backslash vec\{a\}|^2+|\backslash vec\{b\}|^2-2|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$.

Berechnet man nun die Länge über das Skalarprodukt, so erhält man

$\backslash left(\backslash vec\{b\}-\backslash vec\{a\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(\backslash vec\{b\}-\backslash vec\{a\}\backslash right)\; =\; \backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}-2|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$.

Aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt ergibt sich dann

$\backslash vec\{b\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}\; -2\; \backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}+\; \backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}-2|\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$

und daraus die gewünschte Beziehung

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}\; =\; |\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$.

Skalarprodukt und Orthogonalität

Aus der Winkeldarstellung des Skalarprodukts folgt, dass das Skalarprodukt zweier von Null verschiedenen Vektoren genau dann Null ist, wenn der Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels Null ist, wenn also die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

Winkeldefinition im abstrakten Fall

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt, dass für das abstrakte Skalarprodukt die Beziehung

$\backslash left|\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\backslash right|^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,\; x\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle$

gilt, die im Falle $x,y\backslash neq\; 0$ zu

$\backslash left|\backslash frac\{\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\}\{\backslash sqrt\{\backslash langle\; x,\; x\backslash rangle\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; y,y\backslash rangle\}\}\backslash right|\backslash leq\; 1$

umgeformt werden kann. Daher lässt sich auch im abstrakten Fall mittels

$\backslash cos\backslash varphi=\backslash frac\{\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\}\{\backslash sqrt\{\backslash langle\; x,\; x\backslash rangle\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash langle\; y,y\backslash rangle\}\}$

der Winkel $\backslash varphi$ zweier Vektoren definieren.

Berechnung des Skalarprodukts mit Hilfe seiner Komponenten

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In einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist das in der Einleitung definierte Skalarprodukt

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\; \backslash vec\{b\}\; :=\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash overline\{a\_i\}b\_i\; =\; \backslash overline\{a\_1\}b\_1+\backslash overline\{a\_2\}b\_2+\backslash dots\; +\; \backslash overline\{a\_n\}b\_n$

nicht die einzige Funktion, die der abstrakten Definition des inneren Produkts entspricht. So genügt beispielsweise auch die Funktion

$\backslash langle\backslash vec\{a\},\backslash vec\{b\}\backslash rangle:=\backslash vec\{a\}^\{H\}A\backslash vec\{b\}$

für jede positiv definite, hermitesche Matrix $A$ der abstrakten Definition eines inneren Produkts. Lässt sich nun aber zu einem gegebenen inneren Produkt eine Orthonormalbasis finden, also eine Menge von Vektoren $\backslash vec\{e\_1\},\backslash vec\{e\_2\},\backslash dots,\backslash vec\{e\_n\}$ mit

$\backslash langle\; \backslash vec\{e\_i\},\backslash vec\{e\_j\}\backslash rangle=\backslash delta\_\{ij\}$,

wobei

$$

\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad \textrm{falls} \quad i=j \\ 0 \qquad \textrm{sonst}\end{cases} das Kroneckersymbol darstellt, und kann man $\backslash vec\{a\}=\backslash sum\_i\; a\_i\backslash vec\{e\_i\}$ und $\backslash vec\{b\}=\backslash sum\_j\; b\_j\backslash vec\{e\_j\}$ in dieser Basis darstellen, so erhält man aus den Rechenregeln des inneren Produktes

$$

\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\langle\sum_i a_i\vec{e_i},\sum_j b_j\vec{e_j}\rangle=\sum_i \overline{a_i} \sum_j b_j \langle\vec{e_i},\vec{e_j}\rangle=\sum_i \overline{a_i} b_i , also genau die in der Einleitung definierte Berechnung des Skalarprodukts mit Hilfe seiner Komponenten. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich zeigen, dass es stets möglich ist, eine solche Orthonormalbasis zu finden, beispielsweise über die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung.

Der Begriff der Orthonormalbasis und die Berechnung des inneren Produkts mit Hilfe seiner Komponenten lassen sich auf unendlichdimensionale Räume verallgemeinern, wobei die Vektoren üblicherweise nur als eine unendliche Summe von Vektoren aus der Orthonormalbasis dargestellt werden können und das innere Produkt daher ebenfalls eine unendliche Summe wird. Die Orthonormalbasis ist also keine Basis im Sinne der linearen Algebra, die eine Darstellung jedes Vektors als endliche Summe von Basisvektoren ermöglicht. Zur besseren Unterscheidung wird daher im unendlichdimensionalen Fall die Basis im Sinne der linearen Algebra als Hamelbasis bezeichnet.

Skalarprodukt und unitäre Transformationen

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Aus der Darstellung des Skalarprodukts mittels Winkel

$\backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{b\}\; =\; |\backslash vec\{a\}||\backslash vec\{b\}|\; \backslash cdot\; \backslash cos(\backslash gamma)$

folgt geometrisch, dass das Skalarprodukt invariant gegenüber längen- und winkeltreuen Abbildungen sein muss. Dies lässt sich auch analytisch nachrechnen. Längen- und winkeltreue Abbildungen werden durch unitäre Matrizen dargestellt, das sind Matrizen mit der Eigenschaft $UU^H=I$ oder

$\backslash sum\_k\; u\_\{ik\}\backslash overline\{u\_\{jk\}\}=\backslash delta\_\{ij\}$,

wobei $\backslash delta\_\{ij\}$ das Kroneckersymbol darstellt. Für die $i$-te Komponente von $U\backslash vec\{a\}$ und $U\backslash vec\{b\}$ gilt

$\{\backslash left(U\backslash vec\{a\}\backslash right)\}\_i=\backslash sum\_j\; u\_\{i,j\}a\_j$

und

$\{\backslash left(U\backslash vec\{b\}\backslash right)\}\_i=\backslash sum\_k\; u\_\{i,k\}b\_k$.

Somit berechnet sich das Skalarprodukt als

$\backslash langle\; U\backslash vec\{a\},U\backslash vec\{b\}\backslash rangle=\backslash sum\_i\; \backslash sum\_j\; u\_\{i,j\}a\_j\; \backslash sum\_k\; \backslash overline\{u\_\{i,k\}b\_k\}\; =\; \backslash sum\_j\; a\_j\; \backslash sum\_k\; \backslash overline\{b\_k\}\; \backslash sum\_i\; u\_\{i,j\}\backslash overline\{u\_\{i,k\}\}\; =\; \backslash sum\_j\; a\_j\; \backslash sum\_k\; \backslash overline\{b\_k\}\; \backslash delta\_\{jk\}\; =\; \backslash sum\_j\; a\_j\; \backslash overline\{b\_j\}\; =\; \backslash langle\; \backslash vec\{a\},\backslash vec\{b\}\backslash rangle$,

das Skalarprodukt bleibt also tatsächlich unverändert.

Anwendung

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In der Physik sind etliche Größen, wie zum Beispiel die Arbeit $W$, durch Skalarprodukte definiert:

$W=\backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash vec\; s\; =\; \backslash left|\; \backslash vec\{F\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\; \backslash vec\{s\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha$

mit den vektoriellen Größen Kraft $F$ und Weg $s$.

Allgemein gilt für die Arbeit $W$:

$W=\backslash int\_a^b\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; d\; \backslash vec\; s$

Wirkt dabei die Kraft in Richtung des Weges (sind also beide Vektoren parallel und gleich orientiert), dann ergibt sich die Vereinfachung:

$W=\backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash vec\; s\; =\; \backslash left|\; \backslash vec\{F\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\; \backslash vec\{s\}\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 0^\backslash circ$

$\backslash Rightarrow\; W=\; F\; \backslash cdot\; s$

Siehe auch

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Tabelle mathematischer Symbole

Lineare Algebra

dot product | produit scalaire | מרחב מכפלה פנימית | Skaláris szorzat | 計量ベクトル空間 | Inwendig product | Iloczyn skalarny | Скалярное произведение | skalarni produkt | 内积空间