Simplex oder n-Simplex (Mehrzahl: Simplizes) ist ein Begriff aus der Geometrie und beschreibt einen n-dimensionalen Körper (eigentlich ein Polytop).

Dabei ist ein Simplex das einfachste Polytop – jeder seiner Punkte erweitert es in eine andere Dimension, so dass ein $n$-dimensionales Simplex $n\; +\; 1$ Ecken besitzt. Man erzeugt ein $n$-Simplex aus einem $(n-1)$-Simplex, indem man einen Punkt in einer weiteren Dimension hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt verbindet. Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder; ein $n$-Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf $n$ Dimensionen.

Beispiele

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• Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder (vier Ecken, vier Seitenflächen aus Dreiecken, sechs Kanten); er wird erzeugt aus einem Dreieck (2-Simplex), zu dem ein Punkt, welcher nicht in der Dreiecksebene liegt, hinzugenommen und mit allen Ecken des Dreiecks verbunden wird.
• Ein 4-Simplex ist ein vierdimensionaler Polyeder mit fünf Ecken, zehn Seiten, zehn Dreiecksflächen und fünf begrenzenden Tetraedern.

Mathematische Beschreibung

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Konkret ist ein Simplex die konvexe Hülle einer Menge von n+1 Punkten im n-dimensionalen euklidischen Raum $\backslash R^n$ in allgemeiner Lage, d. h. es gibt keine d-dimensionale Ebene, die mehr als d+1 dieser Punkte enthält. Das n-Simplex ist das einfachste n-dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung benannt.

Die konvexen Hüllen von je d der n Punkte sind auch jeweils Simplizes, genannt d-Facetten. 0-Facetten heißen Punkte oder Ecken des Simplex und die 1-Facetten heißen Kanten. (n-1)-Facetten werden Seitenflächen genannt, und die n-Facette ist das gesamte n-Simplex selbst. Die Anzahl der d-Facetten des n-Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten $\{n\; \backslash choose\; d\}$.

Ein Modell eines $n$-Simplex im $\backslash R^n$ ist durch

$\backslash \{x\backslash in\backslash R^n\backslash mid\; x\_i\backslash geq0,\backslash ,\; x\_1+\backslash ldots+x\_n\backslash leq1\backslash \}$

gegeben, ein Modell eines regulären $n$-Simplex im $\backslash R^\{n+1\}$ durch

$\backslash \{x\backslash in\backslash R^\{n+1\}\backslash mid\; x\_i\backslash geq0,\backslash ,\; x\_0+\backslash ldots+x\_n=1\backslash \}.$

Geometrie

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