Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine gegenläufige Kraft wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. Grundsätzlich basiert das Schwingen eines Systems auf der Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen.

Eine Zustandsänderung kann periodisch verlaufen; dabei durchläuft das System wiederholt nach einem festen Zeitintervall den Ausgangszustand. Man kann es auch noch allgemeiner formulieren: Eine Schwingung ist eine Funktion, die eine physikalische Zustandsgröße in Abhängigkeit von der Zeit definiert.

In diesem Zusammenhang können mechanische, elektrische, thermische oder auch hydraulische Zustandsgrößen betrachtet werden:

• Mechanische Zustandsgrößen: Elongation (Auslenkung), Schwinggeschwindigkeit, Schwingbeschleunigung, Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Kraft, Moment

• Elektrische Zustandsgrößen: Strom, Spannung, Leistung, Ladung, Induktivität, Kapazität, Widerstand

• Hydraulische Zustandsgrößen: Volumenstrom (Förderstrom), Druck, Geschwindigkeit, Massendichte, Fallhöhe (Förderhöhe)

Harmonische Schwingung

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Im Rahmen der Anschauung wird hier die harmonische Schwingung als ein wichtiger Spezialfall betrachtet:

Harmonische Schwingung.png Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe $y(t)$ bei einer harmonischen Schwingung.

Das Bild auf der rechten Seite zeigt eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit der Elongation (Schwingweg) $y(t)$, der Amplitude $y\_0$ und der Periodendauer $T$.

Die Elongation $y(t)$ zu einem Zeitpunkt $t$ gibt den momentanen, die Amplitude den maximal möglichen Wert der Größe $y$ an. Die Periode (Physik) oder die Schwingungsdauer ist die Zeit, die verstreicht, während ein schwingungsfähiges System genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d. h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der Kehrwert der Periodendauer T ist die Frequenz f, also: $f\; =\; \{1\; \backslash over\; T\}\; \backslash quad$.
Eine weitere Bezeichnungsform der Frequenz ist $\backslash nu$ (sprich: "nü") und deren Einheit Hz.

Eine Schwingung ist harmonisch, wenn die Rückstellgröße (z.B. die rückstellende Kraft) proportional zur Elongation (z.B. Auslenkung eines Pendels) ist. Hierbei spricht man auch von einem linearen System, da die rückstellende Kraft sich linear mit der Elongation ändert: Verdoppelt sich die Auslenkung, verdoppelt sich auch die rückstellende Kraft.

Eine solche Schwingung lässt sich beschreiben durch

$$

y(t)=y_0\cdot\sin(2\pi f t+\varphi_0)

mit

$y\_0$  = Amplitude und

$\backslash varphi\_0$  = Anfangsphase der Schwingung.

Mit

$$

\varphi (t) = 2 \pi f t+\varphi_0 wird die (Gesamt-)Phase bezeichnet, und f oder $\backslash nu$ ist die Frequenz der Schwingung.

Das $2\backslash pi$ fache der Frequenz, $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; \backslash cdot\; f$, ist die Kreisfrequenz der Schwingung.

• gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen,
• freie, erzwungene (oder fremderregte), selbsterregte und parametererregte Schwingungen,
• lineare und nichtlineare Schwingungen,
• Schwingungen mit einem Freiheitsgrad, mit endlich vielen Freiheitsgraden und mit unendlich vielen Freiheitsgraden (kontinuierliche Schwinger).

Alle diese Eigenschaften können kombiniert sein.

Gedämpfte Schwingungen

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GedämpfteSchwingung.PNG Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe $y(t)$ bei einer freien gedämpften Schwingung.

Tatsächliche physikalische Systeme sind immer gedämpft, da sie, z. B. durch Reibung, immer Energie an die Umgebung abgeben. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dies letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht. Perpetua Mobilia sind also (siehe Energieerhaltungssatz) nicht möglich.

Stellt man das Momentengleichgewicht einer freien gedämpften Schwingung auf, so findet man folgende allgemeine Bewegungsgleichung:

$$

\mathit{J} \ddot \varphi + \mathit{k} \dot \varphi + \mathit{D} \varphi = 0

J: Massenträgheitsmoment

k: Dämpfungskonstante
D: rückstellendes Drehmoment

Mit Hilfe des Lösungsansatzes:

$$

\varphi (t) = \varphi ^{i \alpha t} erhält man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

$$

\varphi (t) = \varphi_0 e^{- \frac{\mathit{k}}{2\mathit{J}}t} e^{\pm\sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}} - \frac{k^2}{4 \mathit{J}^2}t}}

Überträgt man diese Lösung mit Hilfe der Eulerschen Formel von der komplexen in die reelle Ebene so ergibt sich folgende Schwingfunktion:

$$

y(t)=y_0\,e^{-\delta t}\sin(2\pi f\, t+\varphi_0), Die in der reellwertigen Lösung enthaltenen Funktionen stellen zwei elementare Funktionen dar, die im Folgenden genauer erläutert werden sollen.

Wäre also die Dämpfungskonstante gleich Null, so würde die Amplitude niemals abnehmen. Die Schwingung würde sich auf ewig mit dem gleichen Ausschlag fortsetzen. Hier sieht man auch, dass die Dämpfungskonstante nicht zu hoch gewählt werden darf. Die Exponentenfunktion geht sonst sofort gegen null und es findet keine Schwingung im eigentlichen Sinne (Oszillation) statt, sondern das System kriecht in die Ruhelage zurück (Kriechfall). Die Grenze zwischen den beiden Fällen bildet der aperiodische Grenzfall.

Als Abklingdauer $\backslash mathbf\{\backslash tau\}$ wird die Zeit bezeichnet, in der die Amplitude auf den $\backslash mathbf\{e\}$-ten Teil ($\backslash approx\{0\{,\}367\}$) abgefallen ist. Wie deutlich aus der Gleichung der Amplitudenfunktion zu sehen, muss dafür $\backslash tau$ gleich dem reziproken Wert des Exponenten der Funktion sein. Es ergibt sich:

$$

\tau = \frac{2\mathit{J}}{\mathit{k}}

Die Schwingfunktion

der Lösung der allgemeinen Differentialgleichung gibt die Schwingung eines Systems an. Es gilt dafür:

$$

e^{\pm\sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}} - \frac{k^2}{4 \mathit{J}^2}t}}

Den Exponenten dieser Funktion nennt man Kreisfrequenz $\backslash mathbf\{\backslash omega\}$. Für eine (technisch fast unmögliche) ungedämpfte Schwingung mit der Dämpfungskonstante $\backslash mathit\{k\}\; =\; 0$ herrscht nur die _Eigenkreisfrequenz_ $\backslash mathbf\{\backslash omega\_0\}$ vor. Es gilt:

$$

\mathbf{\omega_0} = \sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}}}

Für die Funktion eines gedämpften Systems gilt:

$\backslash mathbf\{\backslash omega\_D\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash mathit\{D\}\}\{\backslash mathit\{J\}\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathit\{k\}^2\}\{4\backslash mathit\{J\}^2\}\}$

Freie oder erzwungene Schwingungen

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Freie Schwingungen führt ein schwingfähiger Körper aus, der nach einer Störung/Auslenkung sich selbst überlassen, oszillierend (oder im Falle der kritischen bzw. überkritischen Dämpfung kriechend) in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt (s. oben). Die Frequenz der freien Schwingungen ist die Eigenfrequenz des Schwingers. Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

Erzwungene Schwingungen führt ein Schwinger aus, der durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregt (gezwungen) wird. Praktisch bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und darunter die harmonische, sinusförmige Erregung. Die Frequenz der periodischen Erregung wird als Erregerfrequenz bezeichnet. Es gibt auch mehrfrequente Erregungen. Aber auch Erregungen durch Zufallsprozesse (stochastische Schwingungen) werden untersucht.

Im Falle der harmonischen Erregung führt ein lineares System i.allg. 2 Schwingungen gleichzeitig aus:

• die freie Schwingung (mit der Eigenfrequenz bzw. mehreren Eigenfrequenzen), deren Größe von den Anfangsbedingungen abhängt und die durch die stets vorhandene Dämpfung während der Einschwingzeit abklingt und
• die erzwungene Schwingung im engeren Sinn mit der/den Erregerfrequenz(en), deren Amplitude(n) konstant ist (sind) und durch die Stärke der Erregung, das Verhältnis zwischen der Erregerfrequenz (oder einer der Erregerfrequenzen) und der Eigenfrequenz (oder einer der Eigenfrequenzen) sowie die Dämpfung des Schwingungssystems bestimmt wird.

In der Technischen Mechanik sind die wichtigste Erregungsmechanismen die Wegerregung, die Krafterregung und die Unwuchterregung.

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung nimmt im Falle der Resonanz ein Maximum an. Bei fehlender Dämpfung und Gleichheit von (einer) Erregerfrequenz und (einer) Eigenfrequenz wird die Amplitude unendlich. Mit wachsendem Dämpfungswert verschiebt sich die Resonanzstelle geringfügig und die Resonanzamplitude nimmt ab.

Selbsterregte Schwingungen

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Schwingungssysteme, bei denen eine Energiezufuhr durch den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird, führen selbsterregte Schwingungen aus. In den Differentialgleichungen wirkt sich diese Erscheinung so aus, dass der Dämpfungswert negativ wird. Ein typisches Beispiel sind die Schwingungen der Saiten einer Violine. Diese werden dadurch verursacht, dass die Haftreibung zwischen Bogen und Saite größer ist als die Gleitreibung und die Gleitreibung mit wachsender Differenzgeschwindigkeit noch abnimmt. Ein weiteres Beispiel ist das Tönen von Gläsern durch Reiben des Randes.

Selbsterregte Schwingungen sind praktisch immer nichtlinear, anderenfalls würden - wenn die Erregung zeitlich unbegrenzt wirkt - die Amplituden exponentiell anwachsen und zur Zerstörung des Schwingungssystems führen .

Parametererregte Schwingungen

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Eine parametererregte Schwingung tritt dann auf, wenn sich Parameter des Schwingungssystems (Trägheitsgrößen, Dämpfungswerte oder Federkonstanten) periodisch ändern. So können z. B. bei Dampflokomotiven parametererregte Schwingungen zwischen den Treibachsen auftreten, weil sich die Steifheit der Verbindung durch die Koppelstangen mit der Radstellung ändert.

Lineare und nichtlineare Schwingungen

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Lineare Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet, dass in den Differentialgleichungen des Schwingungssystems alle Abhängigkeiten von der schwingenden Größe und ihren zeitlichen Ableitungen linear sind. Bei nichtlinearen Schwingungen ist das nicht der Fall. Nichtlineare freie Schwingungen und nichtlineare erzwungene Schwingungen mit harmonischer Erregung sind nicht mehr streng sinusförmig, sondern enthalten höhere Harmonische. Von größerer praktischer Bedeutung ist jedoch, dass sich auch das Resonanzverhalten erzwungener Schwingungen ändert und die Amplituden selbsterregter Schwingungen beschränkt bleiben.

Schwingungen mit einem Freiheitsgrad oder mit endlich vielen Freiheitsgraden

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Schwingungen mit einem Freiheitsgrad sind solche, die sich mit einer schwingenden Größe vollständig beschreiben lassen. Ein Beispiel dafür sind Schwingungen des ebenen Fadenpendels. Lässt man beim Pendel räumliche Bewegungen zu, so handelt es sich bereits um einen Schwinger mit zwei Freiheitsgraden. Wenn ein mechanisches Schwingungssystem mehrere Massen hat, deren Bewegung durch mindestens je eine Koordinate beschrieben werden muss, führt dieses ebenfalls Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden aus. Das gilt z. B. für die Torsionsschwingungen einer Kurbelwelle oder für die Horizontalschwingungen eines mehrgeschossigen Bauwerkes unter Erdbebeneinfluss.

Das Schwingungsverhalten eines Schwingers mit n Freiheitsgraden kann durch n Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben werden. Diese sind in der Regel über die schwingenden Größen, ihre ersten oder/und zweiten Ableitungen gekoppelt. Bei linearen Schwingungssystemen kann durch Einführung sog. Hauptkoordinaten mittels einer Koordinatentransformation eine Entkopplung der Differentialgleichungen bei den Koordinaten (Weggrößen) und ihren zweiten Ableitungen (Beschleunigungsgrößen) erreicht werden. In den meisten Fällen begeht man keinen großen Fehler, wenn man dann auch die Wirkung der ersten Ableitungen (Dämpfungsgrößen) als entkoppelt ansetzt. Aus den entkoppelten Differentialgleichungen bestimmt man die Eigenfrequenzen des Systems.

Nach der Lösung der Differentialgleichungen kann die Zeitabhängigkeit der ursprünglichen Koordinaten dann durch Rücktransformation ermittelt werden.

Bei nichtlinearen Schwingungssystemen ist eine Entkopplung der Differentialgleichungen in geschlossener Form nicht möglich. Es existieren jedoch Näherungsverfahren, die ausgehend von einer Linearisierung der Differentialgleichungen eine iterative Lösung ermöglichen.

Schwingungen mit unendlich vielen Freiheitsgraden

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Unendlich viele Freiheitsgrade und damit unendlich viele Eigenfrequenzen haben Schwingungen der Kontinua, von praktischem Interesse sind in der Technik vor allem die Schwingungen von Saiten, Stäben, Platten und Schalen.

Weitere Beispiele

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Typische Alltagsbeispiele für Schwingungen sind einfache Fadenpendel, die Schwingung des Quarzkristalls in der Quarzuhr, das Schaukeln auf einer Schaukel, uvm. Doch auch die Atome in einem Kristallgitter schwingen um eine Gleichgewichtslage. Aber auch die Änderung der Jahreszeiten, die Drehung der Erde, der Herzschlag oder die Bewegung der Blätter im Wind sind genaugenommen Schwingungen. Hier gibt es überall zeitliche Änderungen von Zustandsgrößen.

Eine Schwingung des Fadenpendels beginnt damit, dass einem sich im Gleichgewicht befindlichen Körper eine Energie zugeführt wird (z.B. durch Auslenkung der Pendelmasse eines Fadenpendels, d.h. Zuführung von potentieller Energie). Im Prinzip kann dem Pendel auch eine Anfangsgeschwindigkeit (kinetische Energie) zugeführt werden.

Die sog. rücktreibende Kraft ist hier die Schwerkraft, die das Pendel nach unten zieht. Wieder in der anfänglichen Gleichgewichtslage angekommen, ist die gesamte zugeführte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, das Pendel bewegt sich durch die Gleichgewichtslage hindurch und erreicht im Idealfall nichtvorhandener Reibung wieder dieselbe Höhe. Gleichgewicht stellt sich dann ein, wenn das System seine potentielle Energie minimiert hat.

Das Fadenpendel führt nur im Grenzfall sehr kleiner Amplituden, eine harmonische Schwingung, aus. Werden die Auslenkungen größer, so wird die rückstellende Kraft nicht proportional zur Auslenkung wachsen. Dies ist also ein Beispiel für ein nichtlineares System, das sich für kleine Auslenkungen aber annähernd wie ein lineares System verhält.

Schwingungen können jedoch auch gleichzeitig von mehreren Kräften beeinflusst werden, oder ein Körper kann mehrere Schwingungen gleichzeitig, d. h. überlagert, ausführen. Man kann jede beliebige Bewegung eines Körpers im Raum in voneinander unabhängige Bewegungsrichtungen zerlegen. Das heißt, ein Körper kann in die drei Raumrichtungen (sie stehen senkrecht zueinander) bewegt werden, und sich noch um drei gedachte Bewegungsachsen (sie stehen ebenfalls aufeinander senkrecht) drehen. Somit hat jeder starre Körper im Raum sechs Bewegungsfreiheitsgrade.

Die entstehenden Überlagerungsfiguren werden nach ihrem Entdecker Lissajous-Schleifen genannt.

Weblinks

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• Umrechnung von Schwingungsdauer oder Periodendauer T in Frequenz f und zurück

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