Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung (Superposition) zweier Schwingungen, die sich in ihrer Frequenz nur wenig voneinander unterscheiden. Schwebungen treten bei allen Wellen auf, für die das Superpositionsprinzip gilt, also beispielsweise Schallwellen und elektromagnetischen Wellen.

Akustik

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In der Akustik ist die Schwebung deutlich zu hören: Erklingen zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton zu hören, dessen Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der beiden überlagerten Töne entspricht. Dieser Ton ist moduliert, seine Lautstärke schwankt mit der sogenannten Schwebungsfrequenz, die der Differenz der Frequenzen der beiden Töne entspricht.

Übersteigt der Frequenzunterschied ca. fünf Prozent, vernimmt man einen Ton rauer Klangfärbung, der sich bei weiterer Vergrößerung der Frequenzdifferenz in zwei Einzeltöne aufspaltet.

Als kritische Bandbreite wird derjenige Bereich um eine Tonfrequenz $f\_0$ bezeichnet, innerhalb dessen die Frequenz eines zweiten Tones liegen muss, damit ein rauer oder schwebender Ton statt zwei getrennter Töne wahrgenommen wird. Die Größe der kritischen Bandbreite hängt von der Frequenz $f\_0$ ab: Je kleiner die Frequenz $f\_0$ ist, desto größer ist die kritische Bandbreite.

Schwebung.ogg: Dem Grundton von 440 Hz ist ein zweiter Ton überlagert, dessen Frequenz von 440 Hz auf 490 Hz ansteigt.

Formeln

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Beating Frequency.svg In der folgenden Berechnung ist:

• $f\_1$ die Frequenz der Sinus-Schwingung 1,
• $f\_2$ die Frequenz der Sinus-Schwingung 2,
• $y\_\{1,2\}$ die Amplitude der einzelnen Schwingungen (gleich für 1 und 2),
• $t$ die Zeit,
• π die Kreiszahl, π $\backslash approx$ 3,1415926535...,
• $y\_R$ die resultierende Summenschwingung,
• $\backslash hat\{y\}$ ihre Amplitude,
• $f\_R$ ihre Frequenz und
• $f\_S$ die resultierende Schwebungsfrequenz.

Dann kann die Summenschwingung so dargestellt werden:

$y\_R\; =\; \backslash hat\{y\}(2\backslash pi\; f\_1t)\; +\; \backslash sin(2\backslash pi\; f\_2t)$.

Diese Berechnung kann umgeformt werden in die folgende Formel:

$y\_R\; =\; 2\backslash hat\{y\}\backslash sin\backslash frac\{f\_1\; +\; f\_2\}\{2\}\; t\backslash cdot\; \backslash cos\backslash frac\{f\_1\; -\; f\_2\}\{2\}\; t=\; 2\backslash hat\{y\}\backslash sin\backslash cos\; [\backslash pi(f\_1-f\_2)t$.

Die letzte Formel besagt, dass die Frequenz der Überlagerungsschwingung die mittlere Frequenz der beiden Teilschwingungen ist (entspricht dem Sinus-Glied der Formel, siehe $f\_R$ unten) und dass die resultierende Amplitude sich zeitlich ändert (die Schwebungsfrequenz; diese wird durch das Kosinus-Glied ausgedrückt, siehe $f\_S$ unten). Es gilt:

$f\_R\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{f\_1\; +\; f\_2\}\{2\}\; \backslash right)$.

Für $f\_S$ findet man oft den Ausdruck $f\_S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{f\_1\; -\; f\_2\}\{2\}\; \backslash right)$ - dies ist die Frequenz, die sich rechnerisch aus dem Kosinus-Glied ergibt. Da es für die Umhüllende der Überlagerungsschwingung (d.h. für die hörbare Amplitudenschwankung) egal ist, ob sich der Kosinus im plus- oder minus-Bereich befindet, ist die hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung doppelt so groß, also:

$f\_S\; =\; f\_1\; -\; f\_2$

Unreine Schwebung

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Ist die Amplitude der beiden beteiligten Schwingungen nicht gleich, dann spricht man von der so genannten Unreinen Schwebung. Bei dieser ist das entsprechende Kosinus-Glied anders ausgebildet, und es treten keine Stilleperioden (wenn die resultierende Amplitude der reinen Schwebung durch Null geht) auf. Des Weiteren schwankt die Schwingungsdauer, anders ausgedrückt, die resultierende Frequenz (das Sinus-Glied oben) ist nicht konstant.

Weitere Klangbeispiele

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Um das Verständnis der akustischen Schwebung etwas zu erleichtern, finden sich hier vier beispielhafte unterschiedliche Schwingungen. Alle besitzen dieselbe Startfrequenz, sie unterscheiden sich jedoch in ihrer Wellenform: Dreieck, Rechteck, Sägezahn, Sinus

Audiobutton.png Schwebung_dreieck.ogg

Audiobutton.png Schwebung_rechteck.ogg

Audiobutton.png Schwebung_saegezahn.ogg

Audiobutton.png Schwebung_sinus.ogg

In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert. Ab Sekunde 4 wurde begonnen, eine dieser Schwingungen langsam in der Frequenz zu erhöhen. Einen exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar: Schwebung_modulation.png

Anwendungen

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Schwebungen können vielseitig angewendet werden:

• Überwachungsanlagen und Bewegungsmelder - Annäherung eines Menschen ändert die Schwebungsfrequenz.
• Metallsuchgeräte - die Frequenz eines von zwei Schwingkreisen wird durch das Metall beeinflusst.
• Theremin - die Frequenz eines von zwei Schwingkreisen wird durch Handbewegungen geändert.
• Gütekontrolle - Vergleich zweier gleicher Bauteile bzw. Baugruppen auf Unterschiede, die auf Fehler hindeuten.
• Abstimmen einer Frequenz mit Hilfe einer Referenzfrequenz (z. B. zum Stimmen eines Klaviers mit Hilfe einer Stimmgabel)
• als Effekt bei Musikinstrumenten (z. B. Choruseffekt, spezielles Orgelregister bei einer Kirchenorgeln)

Siehe auch

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Ondes Martenot > Schwebungssummer

Weblinks

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• SweepGen SweepGen ist ein Programm, mit dem man am eigenen Rechner Schwebungen produzieren kann

Siehe auch: akustische Täuschung, Moiré-Effekt.

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