Ereignishorizont

Das betrifft die Abschnitte „Rotierende Massen“ und „Geladene Massen“. Alle anderen Abschnitte sind bereits überarbeitet.

Der Ereignishorizont ist die Grenze eines Schwarzen Loches, ab der es nicht mehr möglich ist, der Schwerkraft des Schwarzen Loches zu entkommen.

Im Falle von nicht rotierenden und elektrisch nicht geladenen Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont die Oberfläche einer Kugel um die zentrale Singularität. Der Radius dieser Kugel ist der Schwarzschild-Radius.

Bei rotierenden oder elektrisch geladenen Schwarzen Löchern ist der Ereignishorizont ein Ellipsoid, wobei die beiden Hauptachsen dem Schwarzschild-Radius und dem Gravitationsradius entsprechen.

Die Bezeichnung „Ereignishorizont“ kommt daher, dass von jenseits des Ereignishorizonts keine Information in den Außenbereich gelangen kann. Ereignisse in einem Schwarzen Loch können keine Ereignisse außerhalb beeinflussen.

Im Fernfeld gelten die klassischen Gravitationsgesetze weiterhin als Näherung. Diese Näherung führt jedoch zu immer größeren Abweichungen, je weiter man sich dem Ereignishorizont annähert. In unmittelbarer Nähe des Ereignishorizonts muss dann schließlich die Allgemeine Relativitätstheorie benutzt werden.

Geschichte

Pierre-Simon Laplace war der erste, der sich mit der Frage auseinandersetzte, wie groß die Anziehungskraft eines Himmelskörpers sein muss, damit Licht nicht mehr von seiner Oberfläche entweichen kann. Unter Benutzung der Newtonschen Gravitationstheorie, fand er eine Beziehung zwischen dem Radius des Himmelskörpers und seiner Masse. Diesen Radius hat Karl Schwarzschild 1916 in einer allgemeinrelativistischen Rechnung wiedergefunden, daher wurde er ihm zu Ehren als Schwarzschildradius bezeichnet.

Schwarzschild-Radius und Gravitationsradius

Der Schwarzschild-Radius R_S einer Masse M ist gegeben durch:

R_S=\frac{2\,\gamma\,M}{c^2}

wobei

\gamma

die Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit sind.

Im Fall von nicht rotierenden und elektrisch ungeladenen Schwarzen Löchern ist der Gravitationsradius R_G gleich dem Schwarzschild-Radius.

Zum Beispiel beträgt der Gravitationsradius der Sonne etwa 2,952 km. Würde man die gesamte Masse der Sonne, deren Radius etwa 700.000 km beträgt, in eine Kugel mit dem Umfang $2\pi\cdot$ 2,952 km komprimieren, so würde die Sonne zu einem Schwarzen Loch kollabieren. Der Gravitationsradius der Erde beträgt lediglich 9 Millimeter.

Ist das Objekt elektrisch geladen oder verfügt es über einen Drehimpuls, so sind Schwarzschild-Radius und Gravitationsradius nicht mehr identisch. (Siehe dazu die Abschnitte über rotierende und geladene Massen.)

Zu beachten ist hierbei, dass der Schwarzschildradius in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht den Abstand vom Mittelpunkt angibt, sondern über die Oberfläche von Kugeln definiert ist. Ein kugelförmiger Ereignishorizont mit Radius $R_\mathrm{S}$ hat dieselbe Fläche wie eine Sphäre gleichen Radius im euklidischen Raum, nämlich $A=4\pi r^2$ . Aufgrund der Raumzeitkrümmung sind die radialen Abstände im Gravitationsfeld vergrößert (sprich: der Abstand zweier Kugelschalen mit – über die Kugelfläche definierten – Radialkoordinaten $r_1$ und $r_2$ ist größer als die Differenz dieser Radien).

Nichtrelativistische Betrachtungen zum Schwarzschild-Radius

Die Formel für den Gravitationsradius R_G ruhender, ungeladener Massen lässt sich auch auf naive Weise nichtrelativistisch aus folgender Überlegung ableiten, indem man für die newtonsche Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit wählt. Dies entspricht der Annahme, dass kein Licht entkommen kann.

Die Fluchtgeschwindigkeit v_F, d.h. die Geschwindigkeit, die erforderlich ist, um von einem Radius r vom Mittelpunkt eines Massekörpers aus aus dem Gravitationsfeld des Körpers zu entkommen, berechnet sich zu:

$v_\mathrm{F} = \sqrt{2\gamma M\over r}$

Setzt man für die Fluchtgeschwindigkeit v_F die Lichtgeschwindigkeit c und für den Radius r den Gravitationsradius R_G ein, ergibt sich:

$c = \sqrt{2\gamma M\over R_\mathrm{G}}$

Daraus erhält man durch Umformung:

$R_\mathrm{G}=\frac{2 \gamma M}{c^2}$ Diese naive nichtrelativistische Herleitung ist eine notdürftige Analogie, die schnell zu falschen Schlussfolgerungen führen kann. Die Tatsache, dass diese „Herleitung“ dasselbe Resultat wie die allgemein-relativistische Rechnung liefert, ist eher Zufall und hat keinen tieferen physikalischen oder mathematischen Sinn.

Bedeutung und Eigenschaften des Ereignishorizonts

Gravitative Rotverschiebung

Die Frequenz einer Lichtquelle in einem Gravitationsfeld wird zum roten (energiearmen) Teil des Spektrums verschoben, da der Lichtstrahl Energie verliert, wenn er das Gravitationspotential „hinauf klettert“.

Eine allgemein-relativistische Rechnung zeigt, dass die Rotverschiebung unendlich groß wird, wenn die Lichtquelle den Ereignishorizont erreicht. Jeder Lichtstrahl wird vollständig ausgelöscht. Um ein Lichtsignal vom Ereignishorizont zu senden, wäre eine unendliche Energie notwendig.

Einfallzeit für einen außenstehenden Beobachter

Für einen außenstehender Beobachter, der aus sicherer Entfernung zusieht, wie ein Objekt auf ein Schwarzes Loch zufällt, hat es den Anschein als würde sich das Objekt asymptotisch dem Ereignishorizont annähern. Das bedeutet ein außenstehender Beobachter sieht niemals wie das Objekt den Ereignishorizont erreicht, dazu benötigt es aus seiner Sicht unendlich viel Zeit.

Dies ist eine Folge der am Ereignishorizont auftretenden Koordinatensingularität. Diese Singularität ist jedoch nur mathematisch und nicht physikalisch, d.h. durch passende Wahl eines anderen Koordinatensystems lässt sie sich "wegtransformieren".

Einfallzeit für einen frei fallenden Beobachter

Für einen Beobachter, der sich im freien Fall auf das Schwarze Loch zu befindet, ist dies freilich anders. Dieser Beobachter erreicht den Ereignishorizont in endlicher Zeit. (Der scheinbare Widerspruch zu dem vorherigen Ergebnis rührt daher, dass beide Betrachtungen in verschiedenen Bezugssystemen durchgeführt werden.)

Ferner lässt sich in der Schwarzschild-Metrik beweisen, dass ein Objekt, welches den Ereignishorizont erreicht hat, in endlicher Zeit in die zentrale Singularität fallen muss.

Es sei noch angemerkt, dass der Ereignishorizont kein "greifbarer Gegenstand" ist, d.h. ein einfallender Beobachter würde gar nicht registrieren, dass er den Ereignishorizont erreicht hat (trotz der fatalen Folgen, welche das Überschreiten des Ereignishorizontes hätte).

Zukunftslichtkegel

Das vorherige Resultat ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass die Lichtkegel sich bei der Annäherung an den Ereignishorizont immer weiter neigen. Beim Erreichen des Ereignishorizontes neigen sich die Lichtkegel schließlich so weit, dass der Zukunftslichtkegel auf die zentrale Singularität zeigt: Selbst ein Lichtstrahl kann der Singularität nicht mehr entkommen. Mit anderen Worten: Aufgrund der Neigung der Lichtkegel eines Ereignisses innerhalb oder auf dem Ereignishorizont liegt der Bereich außerhalb des Schwarzen Loches nicht mehr im Zukunftslichtkegel, d.h. selbst für Licht nicht mehr erreichbar ist.

Daraus folgt unmittelbar, dass kein Lichtsignal und damit auch keine Information aus dem Schwarzen Loch in den Außenbereich gesendet werden kann.

Hawking-Effekt

Enthält eine Raumzeit einen Ereignishorizont, wie zum Beispiel einen Schwarzschildradius, so wird in der Nähe des Ereignishorizontes die sogenannte Hawking-Strahlung (Siehe den Abschnitt zum Hawking-Effekt) erzeugt. Diese Strahlung kann aber nur dann erzeugt werden, wenn ein Ereignishorizont in einer Raumzeit existiert.

Drehimpuls und elektrische Ladung

Rotierende Schwarze Löcher

Für rotierende Schwarze Löcher ergibt sich aus der Kerr-Metrik schwierigere Lösungen, die zu nicht kugelförmigen Ereignishorizonten und punktförmigen Singularitäten führen. Vielmehr ist der Ereignishorizont ein Rotationsellipsoid, mit den Halbachsen $R_G$ und $R_S$ . Dabei gilt für den maximal rotierenden Fall (unendlicher Drehimpuls ist nicht möglich) $R_G = GM/c^2$ , dass also $R_G$ halb so groß ist wie $R_S$ . Im nichtrotierenden Fall (Grenzfall der Schwarzschildmetrik) ist $R_G=R_S$ .

Zwischen Schwarzschildradius und Gravitationsradius befindet sich um die Äquatorebene die Ergosphäre, in der die Raumzeit in zunehmendem Maße an der Rotation des Schwarzen Loches teilnimmt. Materie, Licht, Magnetfelder etc. müssen somit ebenfalls rotieren. Die Ergosphäre wird für starke Beschleunigungen z.B. von Jets in der Nähe von Schwarzen Löchern verantwortlich gemacht.

Die Singularität im Zentrum von rotierenden Schwarzen Löchern ist ringförmig.

Elektrisch geladene Schwarze Löcher

Elektrisch geladene Schwarze Löcher werden durch die Reissner-Nordström-Metrik beschrieben.

Himmelsmechanik | Allgemeine Relativitätstheorie

Gourt Home::Gourt :: Ereignishorizont