Die Schnittgerade ist ein geometrischer Begriff.

Es gibt grundsätzlich drei verschiedene Möglichkeiten für die gegenseitige Lage zweier Ebenen:

1. Ebenen sind identisch
2. Ebenen sind echt parallel
3. Ebenen schneiden sich wodurch eine Schnittgerade entsteht

Die Untersuchung dieser Lagebeziehung wird in der Analytischen Geometrie durchgeführt. Hier betrachtet man auch Geraden, die entweder

• echt parallel(kein Schnittpunkt),
• identisch(unendlich viele Schnittpunkte),
• windschief sein können (kein Schnittpunkt), oder
• genau einen Schnittpunkt haben.

Zur Lage von Geraden

Um festzustellen, welcher der oben genannten Fälle vorliegt, betrachtet man jeweils die Richtungsvektoren der Gleichungen der betreffenden Geraden.

Sind sie linear abhängig (d.h. kann man den einen durch die anderen durch Addition und/oder Multiplikation mit einem Faktor ausdrücken), liegt entweder echte Parallelität oder Identität vor.

Setzt man den Aufpunkt der einen als Ergebnis der anderen Gleichng ein, sieht man, ob Parallelität(keine Lösung) oder Identität (lösbar) vorliegt.

Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig handelt es sich um windschiefe Geraden, oder welche, die sich in einem Punkt schneiden. Hier setzt man die beiden Gleichungen gleich und erhält entweder keine (windschief) oder eine Lösung (Schnittpunkt).

Zur Lage von Ebenen

Ebenengleichungen besitzen jeweils zwei Richtungsvektoren. Deshalb untersucht man die lineare Abhängigkeit von zwei Vekoren der einen und dem ersten Vektor der anderen Gleichung, dann nimmt man den noch nicht verwendeten und zwei beliebige der anderen Vektoren. Am Besten bedient man sich der Determinanten um die Abängigkeiten festzustellen (0 bedeutet lineare Abhängigkeit).

Erhält man zweimal 0, sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Erfüllt der Aufpunkt der einen die Ebenengleichung der anderen Ebene liegt Identität vor, sonst echte Parallelität.

Sobald einmal nicht 0 herauskommt schneiden sich die Ebenen. Durch Gleichsetzen erhält man die Gleichung der Schnittgerade.

Geometrie