Schlussregel bezeichnet in der formalen Logik eine Transformationsregel in einem logischen Kalkül, d.h. eine Regel, die es erlaubt, bestehende Ausdrücke einer formalen Sprache so umzuformen, dass daraus neue Ausdrücke entstehen, die aus den bestehenden Ausdrücken folgen. Die genaue Beschaffenheit der Schlussregeln hängt davon ab, für welches logische System der Kalkül aufgestellt wird. Für die klassische, zweiwertige Logik ist Folgerung definiert als der Erhalt von Wahrheit ("aus Wahrem folgt nur Wahres", Leibniz). Schlussregeln sind dann so beschaffen, dass sie aus bestehenden Sätzen solche Sätze erzeugen, die schon (aber nicht notwendigerweise nur) dann wahr sind, wenn die Ausgangssätze wahr sind.

Schlussregeln sind rein syntaktisch definiert, d. h. basierend auf der Folge abstrakter Symbole, und können daher ohne Kenntnis von Inhalt (Semantik) angewandt werden. Die Anwendung einer endlichen Folge von Schlussregeln bezeichnet man als Ableitung oder auch als Beweis.

Die fünf „klassischen“ Schlussregeln:

1) Modus ponendo ponens (lat. durch Bejahung bejahende Schlussweise, Schnittregel): der direkte Beweis

$p\; \backslash rightarrow\; q\; \backslash qquad\; p\; \backslash over\; q$

In Worten: wenn q aus p folgt und p wahr ist, dann ist auch q wahr

2) Modus tollendo tollens (lat. durch Verneinung verneinende Schlussweise): der indirekte Beweis

$p\; \backslash rightarrow\; q\; \backslash qquad\; \backslash neg\; q\; \backslash over\; \backslash neg\; p$

In Worten: wenn q aus p folgt und q nicht wahr ist, dann ist auch p nicht wahr

3) Modus barbara (Kettenschluss)

$p\; \backslash rightarrow\; q\; \backslash qquad\; q\; \backslash rightarrow\; r\; \backslash over\; p\; \backslash rightarrow\; r$

In Worten: wenn q aus p folgt und r aus q folgt, dann folgt r aus p

4) Modus tollendo ponens (manchmal auch - nicht ganz korrekt - Disjunktiver Syllogismus genannt)

$p\; \backslash or\; q\; \backslash qquad\; \backslash neg\; p\; \backslash over\; q$

In Worten: wenn p oder q gilt und p nicht wahr ist, dann ist q wahr

5) Widerspruch

$\backslash neg\; p\backslash rightarrow\; (q\backslash land\; \backslash neg\; q)\; \backslash over\; p$

In Worten: wenn nicht-p eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein Widerspruch wahr wird, dann ist p wahr (denn ein Widerspruch kann ja nicht wahr werden)

Weitere Schlussregeln sind:

• Negations-Einführung
• Negations-Elimination
• Kontraposition
• Tautologie-Einführung

Keine zulässige Schlussregel ist die Abduktion. Sie wird aber dennoch in der Künstlichen Intelligenz und Wissensrepräsentation eingesetzt, um "gesunden Menschenverstand" zu simulieren.

Schlüsse, die letztlich nur ihre Voraussetzung folgern, sind ebenfalls unzulässig bzw. nicht als "Schluss" zu bezeichnen: dabei handelt es sich um Tautologien bzw. in weniger formalem Umfeld um Zirkelschlüsse.

Logische Aussagen lassen sich auch durch Resolutionsregeln umformulieren. Auf diese Weise lassen sich bestimmte Typen von Schlussfolgerungen als Widerspruchsbeweise automatisieren.

Siehe auch: Aussagenlogik, Aussagenkalkül, Inferenzrelation, Schlussfolgerung, Wahrheitserhaltung, Syllogismus, Nichtmonotone Logik, zulässige Regel

Logik

Rule of inference | Regola di inferenza | Härledningsregel