Definition

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In der Statistik ist die Schiefe $\backslash operatorname\{v\}(X)$ einer Zufallsvariablen $X$ das auf die dritte Potenz der Standardabweichung bezogene zentrale Moment 3. Ordnung $\backslash mu\_3(X)$:

$\backslash operatorname\{v\}(X)\; :=\; \backslash frac\{\backslash mu^3(X)\}\{\backslash sigma^3(X)\}=\backslash frac\{\backslash operatorname\{E\}\backslash left((X-\backslash operatorname\{E\}(X))^3\backslash right)\}\{\backslash operatorname\{Var\}(X)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}$.

mit dem Erwartungswert $\backslash operatorname\{E\}(X)$ und der Varianz $\backslash operatorname\{Var\}(X)$.

Die Schiefe ist invariant unter linearer Transformation:

$\backslash operatorname\{v\}(aX+b)=\backslash operatorname\{v\}(X)$

Deutung

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Ist $\backslash operatorname\{v\}>0$, so ist die Verteilung rechtsschief, ist , ist die Verteilung linksschief.

Die Schiefe ist ein Maß für die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Mittelwert. Da die Gaußsche Normalverteilung die Schiefe Null hat, ist die Schiefe ein geeignetes Werkzeug, um eine beliebige Verteilung mit betragsmäßig positiver Schiefe mit der Normalverteilung zu vergleichen.

Nicht nur die Normalverteilung weist eine Schiefe von Null auf. Auch beliebige andere in Bezug auf den Mittelwert gänzlich symmetrische Verteilungen weisen eine Schiefe von Null auf. Ein Beispiel stellt eine bimodale und symmetrische Verteilung dar.

Englischer Fachausdruck: Skew, bzw. Skewness

Interpretation der Schiefe

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Rechtsschiefe Verteilungen findet man z.B. häufig beim Pro-Kopf Einkommen. Hier gibt es einige wenige Personen mit extrem hohem Einkommen und sehr viele Personen mit eher niedrigem Einkommen. Durch die 3. Potenz erhalten die wenigen sehr extremen Werte ein hohes Gewicht und es entsteht ein vom Vorzeichen positives Schiefemaß. Es gibt verschiedene Formeln um die Schiefe zu berechnen. Die gängigen Statistikpakete wie SPSS, Systat, STATA, etc. nutzen besonders im Falle einer kleinen Fallzahl von obiger, momentbasierter Berechnungsvorschrift abweichende Formeln.

Siehe auch

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• Moment (Statistik)
• Erwartungswert
• Varianz
• Wölbung (Statistik)

Stochastik | Statistik

Skewness | 歪度 | Asimetrijas koeficients | Obliquidade | Коэффициент асимметрии | Skewness