Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des hörbaren Schalls, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Die Schallgeschwindigkeit wird in der Regel mit c = 343 m/s (1 225 km/h) für 20 °C in Luft angegeben.

Für die Schallgeschwindigkeit c (für lat. celeritas = Geschwindigkeit) gilt die Formel

c = \lambda \cdot f ,

wobei λ (lambda) die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist.

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\rho$ , der Poissonzahl $\mu$ und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei

c_{\mathrm{Festk\ddot orper, longitudinal}} = \sqrt{E \, ( 1- \mu) \over \rho \, ( 1- \mu - 2 \mu^2) } .

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden und man erhält

c_{\mathrm{Festk\ddot orper (langer Stab), longitudinal}} = \sqrt{E \over \rho} .

Für Transversalwellen muss das Elastizitätsmodul durch das Schubmodul $G$ ersetzt werden

c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} = \sqrt{G \over \rho} .

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da das Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte

\rho

und des Kompressionsmoduls

K

der Flüssigkeit und berechnet sich aus

c_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}} = \sqrt{K \over \rho} . Dies gilt nur im statischen Zustand einer Flüssigkeit. Sollte sich diese bewegen, so kommt es zu Laufzeitdifferenzen.

Die Auswirkungen dieser Gleichung können mit dem Cappuccino-Effekt demonstriert werden. Rührt man aufgeschäumte Milch in Kaffee und klopft dann mit dem Löffel mehrmals in kurzen Abständen auf den Boden der Tasse, verändert sich der Klang. Mit dem Unterrühren des Milchschaums werden die Klopfgeräusche zuerst tiefer und danach höher, da sich mit der zuerst im Schaum eingeschlossenen und dann langsam entweichenden Luft der Kompressionsmodul des Kaffees verändert.

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponent κ (kappa), der Dichte ρ (rho) sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen Zustandsgleichung von der molaren Masse M und der absoluten Temperatur T (gemessen in Kelvin) und berechnet sich aus

c_{\mathrm{Gas}} = \sqrt{\kappa \cdot {p \over \rho}} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{R \cdot T}{M}} . wobei M = 0,02896 kg/mol die molare Masse und κ = 1,402 der Adiabatenexponent der Luft ist. Der Adiabatenexponent κ (kappa) = c_p/c_V hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht von T ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R = 8,3145 J/molK eine physikalische Konstante. Ein genauerer empirischer Ausdruck für die Schallgeschwindigkeit ergibt sich durch Zusammenfassen der Konstanten in eine einzige rechnerische Konstante:

c_{\mathrm{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402\cdot\frac{R \cdot T}{0{,}02896\,\mathrm{kg/mol}}} = 20{,}055\sqrt{T\over\mathrm{K}} \ \mathrm{m/s}

Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab.

Trotz der Wurzelabhängkeit wird häufig die lineare Näherungsformel

c_{\mathrm{Luft}} \approx (331{,}5 + 0{,}6 \cdot \vartheta) \ \mathrm{m/s}

verwendet, wobei $\vartheta=T-273{,}15\,\mathrm{K}$ die Temperatur in °C ist.

Der genaue Betrag der Vorfaktoren wurde aus Messungen nach D.A. Bohn (1988) bestimmt. Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C (= 298,15 K) etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Raumtemperatur).

Diese Näherungsformel gilt im Temperaturbereich von -20°C bis +40°C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2%. Die Schallgeschwindigkeit ist unabhängig vom Luftdruck. Die Schallgeschwindigkeit ist c = √(κ · Druck/Dichte). Da der Quotient Druck/Dichte für ein ideales Gas eine Konstante (Druck/Dichte = R · T) ist, muss c unabhängig von Druck und Dichte sein. Die Effekte heben sich auf.

Die genauere Schallgeschwindigkeit mit der Wurzelabhängigkeit ist

c_{\mathrm{Luft}} = 331{,}5 \cdot \sqrt{\vartheta + 273{,}15 \over 273{,}15} = 331{,}5 \cdot \sqrt{ 1 + {\vartheta \over 273{,}15}} in m/s, wobei

\vartheta

direkt die Temperatur in °C ist.

Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst geringfügig die Schallgeschwindigkeit und auch der oft unrichtig angegebene statische Schalldruck tut es nicht (Ausnahmen sind Schallwellen von sehr großer Amplitude sowie Stoßwellen). Sehr bedeutsam ist dagegen die Temperatur. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Funktion der Temperatur und nur in geringem Maße auch eine der Luftfeuchte ist.

Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen. Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit unter Standardatmosphäre gemessen.

Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und unabhängig vom Luftdruck. Diese Abhängigkeit gilt daher auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Links: Druckwelle (Longitudinal). Rechts: Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Transversal), diese Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus.

Medium	Schallgeschwindigkeit in (m/s)	Transversal in (m/s)	-	Luft (bei 20 °C)	343 (*)	-	-	Helium	981	-	-	Wasserstoff	1280	-	-	Sauerstoff	316	-	-	Wasser	1484		-	Wasser (bei 0 °C)	1407		-	Eis (bei -4 °C)	3250		-	Öl(SAE 20/30)	1740		-	Glas	5300		-	PVC (weich)	800		-	PVC (hart)	2250	1060	-	Beton	3100		-	Buchenholz	3300		-	Aluminium	6300	3080	-	Beryllium	12900	8880	-	Blei/5%Antimon	2160	700	-	Gold	3240	1280	-	Kupfer	4660	2260	-	Magnesium/Zk60	4400	810	-	Quecksilber	1450		-	Stahl	5920	3255	-	Titan	6100	3050	-	Wolfram	5460	5460	-	Eisen	5170

(*) entspricht 1234,8 km/h.

In Beryllium erreicht der Schall die höchste errechnete Schallgeschwindigkeit.

Temperaturabhängigkeit

Allgemein ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit folgende Abhängigkeit von der Temperatur

\vartheta_{0}

^*.

c=c_\sqrt }}}

Dabei stellt c₀ m/s die Geschwindigkeit bei $\vartheta_{0} = 273 K$ dar und c m/s die Schallgewindigkeit bei $\vartheta$ ^*.

Die Temperaturabhängigkeit ergibt sich durch sehr große Dichtegradienten und Geschwindigkeitsänderungen bei den erzeugten Wellen. Denn dadurch sind die Näherungen des hydrodynamischen Grundgesetztes nicht mehr erfüllt.

Somit ergibt sich beispielsweise folgende Tabelle für Luft mit c₀ = 331,5 m/s. Hierbei hat der Luftdruck keine Wirkung auf die Schallgeschwindigkeit, auch wenn diese Fehlangabe häufig zu finden ist.

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Wasser ist ein Beispiel eines dispersiven Mediums.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Luft ist ein nicht dispersives Medium.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach verwendet, wobei 1 Mach gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Siehe auch: Überschallgeschwindigkeit, Überschallflug.

Die Entfernung eines Blitzeinschlags, und damit auch eines Gewitters lässt sich abschätzen, indem man nach dem Sehen des Blitzes bis zum Hören des Donners die Sekunden zählt. Die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt (aufgrund einer abgerundeten Schallgeschwindigkeit von c = 333 m/s) ungefähr die Entfernung des Gewitters in Kilometern.

Siehe auch

| Lichtgeschwindigkeit | Luftdruck |

Literatur

Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. PDF-Version

Weblinks

Schall | Strömungslehre

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