Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis (Mathematik).

• Voraussetzung: Die Funktion f sei im abgeschlossenen Intervall ^* stetig und im offenen Intervall (a,b) differenzierbar, außerdem gelte $\backslash begin\{matrix\}\; f(a)\; =\; f(b)\backslash end\{matrix\}$.

• Behauptung: Es gibt mindestens eine Stelle $x\_0$ aus (a,b) mit der Eigenschaft $\backslash begin\{matrix\}\; f\; \text{'}(x\_0)\; =\; 0\; \backslash end\{matrix\}$.

Satz_von_Rolle.png

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion $\backslash begin\{matrix\}\; f\backslash end\{matrix\}$ gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesonders, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Der Satz von Rolle ist einerseits ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Andererseits lässt sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.

Satz

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Sei $f:*\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ eine stetige Funktion (a < b) mit $f(a)=f(b)$. Ist f zudem im offenen Intervall (a,b) differenzierbar, so existiert mindestens eine Stelle $x\_0\; \backslash in\; (a,b)$ mit $f\text{'}\backslash \; (x\_0)=0$.

Beweis

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Für eine konstante Funktion f ist die Aussage trivial und gilt für alle $x\; \backslash in\; (a,b)$. Falls f nicht konstant ist, gilt: Da f über dem kompakten Intervall ^* stetig ist, nimmt f ein Maximum und ein Minimum an. Mindestens eines der beiden Extrema (o.B.d.A. das Maximum) wird an einer Stelle $x\_0\; \backslash in\; (a,b)$ angenommen (wegen $\backslash begin\{matrix\}f(a)\; =\; f(b)\backslash end\{matrix\}$). Es ist:

$\backslash lim\_\{h\; \backslash rightarrow\; 0-\}\; \backslash frac\; \{f(x\_0\; +h)\; -\; f(x\_0)\}\; \{h\}\; \backslash geq\; 0\; \backslash geq\; \backslash lim\_\{h\; \backslash rightarrow\; 0+\}\; \backslash frac\; \{f(x\_0\; +h)\; -\; f(x\_0)\}\; \{h\}$

also folgt:

$\backslash begin\{matrix\}f\text{'}(x\_0)\; =\; 0\; \backslash end\{matrix\}$

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