Kreisteilungskörper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition

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Es sei $n>2$ eine natürliche Zahl. Dann ist der $n$-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)$ von $\backslash mathbb\; Q$, die durch Adjunktion der Menge $\backslash mu\_n$ aller $n$-ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

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• Ist $\backslash zeta\_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von $\backslash zeta\_n$ das $n$-te Kreisteilungspolynom $\backslash Phi\_n$, deshalb ist

$\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)\backslash cong\backslash mathbb\; Q(\backslash zeta\_n)\backslash cong\backslash mathbb\; Q*/(\backslash Phi\_n(T)).$

Insbesondere ist der Körpergrad $Q(\backslash mu\_n):\backslash mathbb\; Q=\backslash varphi(n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.

• Die Adjunktion der $m$-ten Einheitswurzeln zu $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)$ ergibt $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_N)$ mit $N=\backslash mathrm\{kgV\}(m,n).$

• Die Erweiterung $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)|\backslash mathbb\; Q$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z)^\backslash times;$ ist $\backslash zeta\_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\backslash in(\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z)^\backslash times$ der durch

$\backslash zeta\_n\backslash mapsto\backslash zeta\_n^k$

definierte Automorphismus von $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n).$

• Der Ganzheitsring von $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)$ ist $\backslash mathbb\; Z*$ mit einer beliebigen primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\backslash zeta\_n.$ Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_4)=\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{-1\})$ isomorph zum Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_3)=\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_6)=\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{-3\})$ ist isomorph zum Ring der Eisenstein-Zahlen.

• Eine Primzahl $p\backslash ne2$ ist genau dann verzweigt in $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n),$ wenn $p$ ein Teiler von $n$ ist. $p$ ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; n$ gilt.

• Ist $n=\backslash ell^\backslash nu$ eine Primzahlpotenz und $\backslash zeta\_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist $\backslash ell$ in $\backslash mathbb\; Q(\backslash mu\_n)$ rein verzweigt, und das Primideal über $\backslash ell$ ist ein Hauptideal, das von $1-\backslash zeta\_n$ erzeugt wird:

$(\backslash ell)=(1-\backslash zeta\_n)^\{\backslash varphi(n)\}.$

Satz von Kronecker-Weber

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Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\backslash mathbb\; Q$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

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