Der Satz von Fubini ist ein wichtiger Satz in der Integralrechnung. Er gibt an, unter welchen Bedingungen und wie man mehrdimensionale Integrale mit Hilfe von eindimensionalen Integralen ausrechnen kann. Erstmals wurde dieser Satz von Guido Fubini bewiesen.

Beschreibung

Mit Hilfe des Riemann-Integrals oder des Lebesgue-Integrals kann man die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definieren. Das Problem hierbei ist, dass diese Integrale über einen Grenzwert mit Hilfe einer Zerlegung des Gebiets in kleine Teile definiert ist. Diese ergibt vorderhand keine nützliche, konstruktive Methode, um solche Integrale zu berechnen. Bei eindimensionalen Integralen kann man diese Grenzwertbildung vermeiden, wenn man die Stammfunktion kennt (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Mit Hilfe des Satzes von Fubini können nun mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückgeführt werden, welche wiederum mit Hilfe einer Stammfunktion (sofern bekannt) berechnet werden können. Dieser Trick ist in naiver Weise (vor einer exakten Definition der Integrationsrechnung) schon im 16. Jahrhundert verwendet worden – im Falle von Volumensberechnungen unter dem Prinzip von Bonaventura Cavalieri bekannt.

Satz von Fubini für das Riemann-Integral

Sei $f\backslash colon\; (\{I\; \backslash times\; J\})\; \backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\{R\}^2\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$ stetig, I und J kompakte Intervalle.

Dann ist $F\backslash colon\; \{J\}\; \backslash subseteq\; \{\backslash mathbb\{R\}\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{C\}$ mit $y\; \backslash mapsto\; \backslash int\_\{I\}^\{\}~f(x,y)~\; \backslash mathrm\; dx$ stetig und es gilt

$\backslash int\_\{J\}^\{\}~F(t)\; ~\; \backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash int\_\{J\}^\{\}~\backslash int\_\{I\}^\{\}~f(x,y)~\; \backslash mathrm\; dx\; ~\; \backslash mathrm\; dy\; =\; \backslash int\_\{I\}^\{\}~\backslash int\_\{J\}^\{\}~f(x,y)~\backslash mathrm\; dy~\; \backslash mathrm\; dx$

= \int_{I \times J}^{}~f(x,y) ~ \mathrm d(x,y)

Satz von Fubini für das Lebesgue-Integral

Sei $f(x,y)$ eine reelle messbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes $\backslash mathrm\; d(x,y)$ integrierbar ist:

,

dann sind die Funktionen

$x\; \backslash to\; \backslash int\_\{J\}\; f(x,y)\; ~\; \backslash mathrm\; dy$

$y\; \backslash to\; \backslash int\_\{I\}\; f(x,y)\; ~\; \backslash mathrm\; dx$

integrierbar, und es gilt die Gleichheit $\backslash int\_\{I\; \backslash times\; J\}\; f(x,y)\; ~\; \backslash mathrm\; d(x,y)\; =\; \backslash int\_\{J\}^\{\}~\backslash int\_\{I\}^\{\}~f(x,y)~\; \backslash mathrm\; dx~\; \backslash mathrm\; dy\; =\; \backslash int\_\{I\}^\{\}~\backslash int\_\{J\}^\{\}~f(x,y)~\backslash mathrm\; dy~\; \backslash mathrm\; dx$.

Diese Identität gilt für alle Mengen $I,\; J$, die Kompaktheit ist nicht erforderlich.

Satz von Tonelli (auch Satz von Fubini-Tonelli)

Eine nützliche Variante dieses letzten Satzes ist der Satz von Tonelli. Für positive Funktionen wird die Integrierbarkeit bezüglich des Produktmaßes als Voraussetzung nicht benötigt. Es reicht, dass die iterierten Integrale existieren:

Sei $f(x,y)$ eine positive reelle messbare Funktion, falls entweder oder .

Dann ist $f(x,y)$ bezüglich des Produktmaßes integrierbar und es gilt:

$\backslash int\_\{I\; \backslash times\; J\}\; f(x,y)\; ~\; \backslash mathrm\; d(x,y)\; =\; \backslash int\_\{J\}^\{\}~\backslash int\_\{I\}^\{\}~f(x,y)~\backslash mathrm\; dx~\; \backslash mathrm\; dy\; =\; \backslash int\_\{I\}^\{\}~\backslash int\_\{J\}^\{\}~f(x,y)~\; \backslash mathrm\; dy~\; \backslash mathrm\; dx$

Weiteres

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Siehe auch: Liste mathematischer Sätze

Integralrechnung | Satz (Mathematik)

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