Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Als Gleichung ausgedrückt lautet er

a^2 + b^2 = c^2

wobei $a$ und $b$ wie im Bild rechts für die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, stehen und $c$ die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, darstellt.

pythagoras_abc.png

Pythagoras von Samos.png

In der modernen Mathematik motiviert der Satz das Konzept des Senkrechtstehens in abstrakten Räumen.

Der nach Pythagoras von Samos benannte Satz ist theoretischer Ausdruck der von indischen, babylonischen und ägyptischen Baumeistern und Priestern entwickelten praktischen Kunst, bei Abmessungen von Feldern und Bauten mit Hilfe von Seilen präzise rechte Winkel zu erzielen. Schon eine kleine Abweichung vom rechten Winkel kann für Bauwerke auf großen Längen zu katastrophalen Ergebnissen führen. Bei Konstruktionen wie den Pyramiden, mit einer Seitenlänge von mehr als 200 Meter, konnten sich die Baumeister nicht die geringste Abweichung erlauben.

Von der historischen Praxis zur Irrationalität

Seilspanner und ihre mathematische Adelung

PyramidDatePalms_gr.jpg Um die auch heute noch verblüffende Präzision ihrer Bauten zu erreichen, hatte die ägyptische Priesterschaft mit den so genannten Harpedonapten eine eigene Zunft: die Seilspanner. Mit Hilfe von Zwölfknotenschnüren erzielten die Seilspanner genaue rechte Winkel, indem sie 12 gleiche Teile eines langen Seils durch Knoten im Verhältnis 5:3:4 unterteilten und aus dem Seil mit Hilfe von Pflöcken ein Dreieck bildeten – es muss und wird sich auf diese Weise immer ein rechter Winkel ergeben (Pythagoreisches Tripel). Diese Methode wandten die Seilspanner ferner an, wenn die Schlammfelder nach dem Rückgang der Nilfluten neu abzumessen waren. Auch die indischen Priester bestimmten ihre rechten Winkel, beispielsweise für den Bau ihrer Altäre, nach der gleichen Methode, unterteilten ihre Dreiecke jedoch im Seitenverhältnis 39:15:36. Da auch die Umkehrung des Satzes gilt, schließen a und b den rechten Winkel ein, wenn die Seillängen die Gleichung

a^2 + b^2 = c^2

erfüllen. Tatsächlich ergeben sich mit

3^2 + 4^2 = 5^2

(Ägypter) oder

15^2 + 36^2 = 39^2

(Inder) gültige Gleichungen. Was bei Babyloniern, Indern und Ägyptern in praktischer, ursprünglich probierender Anwendung entstanden war und nach heutigem Wissensstand seinerzeit nicht auf seine Allgemeingültigkeit hinterfragt wurde, erhielt somit im Lehrsatz des Pythagoras mit

a^2 + b^2 = c^2

seine abstrakte, verallgemeinerte mathematische Adelung.

Pythagoras - Suche nach der Harmonie der Welt

Brueghel-tower-of-babel.jpg Die ältesten bekannten mathematischen Aufzeichnungen mit Pythagoreischen Tripeln und sogar ihrer Quadratur finden sich auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr). Die Grundlagen des Satzes waren also lange vor dem griechischen Mathematiker und Philosophen Pythagoras von Samos bekannt. Die Benennung des Satzes nach Pythagoras stammt von Euklid, der in seinem berühmtesten Werk Elemente das mathematische Wissen seiner Zeit zusammengetragen und dabei diesen Satz Pythagoras zugeschrieben hatte. Pythagoras selbst, der viele Jahre in Ägypten verbracht haben soll, und seiner asketischen, aristokratisch-elitären Schule fällt allerdings wahrscheinlich das Verdienst zu, diesen Satz um 540 v. Chr. für die westlichen Kulturen neu entdeckt, in seine verallgemeinerte, abstrakte Formel

a^2 + b^2 = c^2

gebracht und weiterentwickelt zu haben. Für seinen Beweis muss Pythagoras sich einer noch recht schlichten Methode manueller Flächenabdeckung bedient haben; der bei Euklid überlieferte exakte mathematische Beweis stammt mit Sicherheit erst aus späterer Zeit.

Zwar enthielt beispielsweise das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das ägyptische Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind) aus dem 17. Jahrhundert v. Chr., bereits komplizierte Aufgaben, es fehlte jedoch jede Verallgemeinerung, Regel, Definition. Bei Pythagoras wurde aus der Praxis Wissenschaft. Wie der Neuplatoniker Proklos um 470 n. Chr. beschrieb:

...verwandelte Pythagoras die Beschäftigung mit diesem Wissenszweige in eine wirkliche Wissenschaft, indem er die Grundlage derselben von höherem Gesichtspunkt aus betrachtete und die Theoreme derselben immaterieller und intellektueller erforschte.

Dabei stand für die Pythagoreer nicht die Mathematik, wie wir sie heute begrifflich verstehen, im Vordergrund. Vielmehr war die Mathematik Teil der Philosophie in der Tradition der Vorsokratiker Thales von Milet und Anaximander; wie diese hofften auch die Pythagoreer, die innere Harmonie der Welt und ihr zusammenhaltendes Element in mathematischen Beziehungen und Formeln finden und abbilden zu können.

China

Auch in China war der Satz schon sehr früh bekannt. Sein chinesischer Name ist gou-gu. Ein unter dem Namen hsuan-shu bekanntes Diagramm, das einen graphischen Beweis am Beispiel des Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 zeigt, findet sich in der Schrift Chou pei suan ching (Klassiker des Gnomons, vor 300 v. Chr.). Auch im Chiu chang suan shu (Neun Kapitel über die Kunst der Mathematik, 3. Jahrhundert v. Chr.), dem klassischen mathematischen Werk Chinas mit einer Sammlung von 263 Anleitungen zum Lösen von Aufgaben, wird er angewendet. Liu Hiu (3. Jahrhundert n. Chr.) gibt in seinem Kommentar Jiuchang suanshu zu den „Neun Kapiteln“ im neunten Kapitel einen Zerlegungsbeweis an.

Entdeckung der Irrationalität

Der Satz des Pythagoras führte noch die Pythagoreer zur Entdeckung der Irrationalität von

\sqrt{2}

. Hat man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und berechnet dessen Diagonale, folgt aus dem Satz des Pythagoras:

1^2 + 1^2 = 2 = c^2

. Die positive Lösung c dieser Gleichung nennen wir

\sqrt{2}

. Unmittelbar darauf folgte dann die Frage, ob sich die Länge dieser Diagonalen exakt durch eine rationale Zahl, also einen Bruch p/q darstellen lässt. Schon die Pythagoreer konnten zeigen, dass dies nicht möglich ist. Ein Beweis durch Widerspruch, der auch heute noch in der Schule gelehrt wird, ist uns von Euklid überliefert.

Das Weltbild der Pythagoreer, die die Zahl als das Maß aller Dinge betrachteten, war durch die Entdeckung der Irrationalität in Frage gestellt. Parallel zum Messbaren, parallel zur klaren Gesetzmäßigkeit existierte das Unmessbare, die nicht ausdrückbare Zahl. Der Erkenntnis verschlossen sich die Pythagoreer nicht, weigerten sich aber, das Irrationale den Zahlen zuzuordnen. Solche Ehrfurcht hatten diese Männer vor der Theorie des Irrationalen, berichtet Proklos, dass sie annahmen, dass derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Irrationalen aus dem Verborgenen in die Öffentlichkeit brachte, durch einen Schiffbruch umgekommen sei, und zwar weil das Unaussprechliche und Bildlose immer verborgen werden sollte ...

Mathematische Aussage und Anwendungen

Aussage

Pythagoras.png

Sind

a

b

c

die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit

c

als Hypotenuse, so gilt:

a^2 + b^2 = c^2.

In Worten: Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite c gegenüber liegt.

Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze zusammen bilden zusammen mit dem Satz des Pythagoras die so genannte Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes.

Allgemeiner Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt nicht nur für Quadrate, sondern es ist für die Flächengleichheit hinreichend, wenn die Figuren über den Katheten und der Hypotenuse zueinander ähnlich sind, d. h. wenn sich ihre Flächen wie a² : b² : c² zueinander verhalten.

Anwendung

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate, es gilt also:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Die einfachste und wichtigste Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

a = \sqrt{c^2 - b^2}

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, um zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird schlicht getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist:

Seitenlängen 3, 4, 5 => 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² => Das Dreieck ist rechtwinklig. Seitenlängen 4, 5, 6 => 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ≠ 6² => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

In der Praxis wird der Satz des Pythagoras, neben Sinus- und Kosinussatz, auch heute noch vor allem für das Vermessen von Gelände verwendet.

Kartesisches Koordinatensystem

Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einer Ebene, die durch ein kartesisches Koordinatensystem beschrieben wird. Sind zwei Punkte

(x_0, y_0)

und

(x_1, y_1)

gegeben, dann ist ihr Abstand

c

durch

c = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}

gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Dies kann analog auf mehrere Dimensionen erweitert werden und liefert den euklidischen Abstand. Z.B. für den dreidimensionalen Fall:

c = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2 + (z_1-z_0)^2}

Beweise

Für den Satz sind über 300 verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend drei geometrische Beweise vorgestellt:

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

**Diagramm zum Ergänzungsbeweis**
Pythagorasergänzung.png
Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$

In ein Quadrat mit der Seitenlänge

a + b

werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten

a

b

und

c

(Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge $a + b$ ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge $c$ , das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ und einem mit Seitenlänge $b$ . Die Fläche $c^2$ entspricht also der Summe der Fläche $a^2$ und der Fläche $b^2$ , also $a^2 + b^2 = c^2$ . Dies ist der Satz des Pythagoras.

Für eine algebraische Lösung betrachten Sie nur das linke Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge a+b, und somit die Fläche $(a+b)^2$ . Zieht man von dieser Fläche die 4 Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von ab/2 (also insgesamt 2ab) haben, so bleibt die Fläche $c^2$ übrig. Es ist also $(a+b)^2 = 2ab+c^2$ . Aus Auflösung der Klammer folgt $a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2$ . Zieht man nun auf beiden Seiten 2ab ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

**Diagramm zum Scherungsbeweis**
Pythagorasanimation.gif
Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Diagramm zum Beweis mit Ähnlichkeiten
Pythagoras6.png
Ähnlichkeit der Dreiecke $ACB$ , $CBD$ und $ACD$

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils den Hypotenusenabschnitten entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit $h$ , die Hypotenusenabschnitte mit $p$ und $q$ bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden.

Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden grünen Winkel im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke $ACB$ , $CBD$ und $ACD$ ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt.

Pythagoreische Tripel

Ein pythagoreisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung:

a^2 + b^2 = c^2

gilt. Es gibt unendlich viele Tripel mit dieser Eigenschaft.

Das einfachste solcher Tripel bilden die bereits von den Ägyptern genutzten Zahlen $3$ , $4$ und $5$ (wegen $3^2 + 4^2 = 5^2$ , also $9 + 16 = 25$ ). Dieses wird in der „Gärtnerkonstruktion“ von rechtwinkligen Parzellen oder Beeten verwendet:

Eine schöne Anwendung eines Pythagoreischen Tripels ist die Zwölfknotenschnur: Man bringe an einem Stück Schnur in regelmäßigen Abständen einen Knoten an und knote sie dann so zusammen, dass eine Schleife mit im Ganzen 12 Knoten entsteht. Nehmen jetzt drei Personen je einen Knoten in die Hand, so dass sich die Strecken zwischen ihnen wie 3:4:5 verhalten, so ist der Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten (Katheten) genau 90°.

Verallgemeinerungen

Kosinussatz

Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für nicht rechtwinklige Dreiecke:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma

wobei

\gamma

der Winkel zwischen

a

und

b

ist. Der Kosinussatz unterscheidet sich also durch den Term

- 2ab\cdot\cos\gamma

vom Satz des Pythagoras; da der Kosinus von 90° null ergibt, fällt dieser bei einem rechten Winkel weg und der Spezialfall für rechtwinklige Dreiecke in Form des Satzes von Pythagoras bleibt übrig.

Verallgemeinerung des pyth. Lehrsatzes auf beliebige Dreiecke ohne Winkelfunktionen

Es ist auch möglich, die Aussage des Kosinussatzes ohne Winkelfunktionen zu erhalten. Dazu konstruiert man ein beliebiges Dreieck mit Zirkel und Lineal folgendermaßen: Wir zeichnen die Kante c zwischen den Punkten A und B. Dann tragen wir mit dem Zirkel die Kathetenlänge b von A aus in Form einer Kreislinie auf, die c schneidet. Von B aus tragen wir nun die Kathetenlänge a in Form einer Kreislinie auf, die ebenfalls c schneidet. Wir sehen, dass c durch die beiden Kreislinien in insgesamt drei Teile zerschnitten wird.

Jene Teilstrecke auf c, die in A beginnt, nennen wir x, den mittleren Abschnitt nennen wir u und jenen Teil, der in B endet, nennen wir y, so dass gilt: $c = x + u + y$ . Dann gilt: $a = u + y$ , $b = u + x$ , $c = u + x + y$ , und $c^2 = (u + x + y)^2 = u^2 + x^2 + y^2 + 2ux + 2uy + 2xy$ .

Für jedes Dreieck gilt nun: $c^2 = a^2 + b^2 - u^2 + 2xy$ ; für rechtwinklige Dreiecke gilt $u^2 = 2xy$ , so dass sich für den Spezialfall der rechtwinkligen Dreiecke der Ausdruck reduziert auf $c^2 = a^2 + b^2$ . Natürlich gilt auch: $u^2 - 2xy = 2ab \cos (\gamma)$ oder $\cos(\gamma)=(u^2-2xy)/2ab$ , da $c^2 = a^2 + b^2 - u^2 + 2xy$ dieselbe Aussage macht wie der Kosinussatz, nur eben ohne Winkelfunktionen. Man kann beweisen, dass jedes u eines Dreiecks mit 3 ganzzahligen Seiten, für welches eine Beziehung der Form $a^p+b^p=c^p$ für p > 2 gelten soll (vgl. bereits bewiesener Großer fermatscher Satz) gilt: $u = 6k$ für p=3 und $u = 6kp$ für p>3, k aus N.

Aus der notwendigen Gleichung $u^2 = 2xy$ für rechtwinklige Dreiecke ergibt sich übrigens eine sehr einfache Vorschrift zur Ermittlung ganzzahliger pythagoreischer Zahlentripel, da sich die Größen a, b und c aus den Lösungen u, x und y (s.o.) zusammensetzen.

Innenprodukträume

Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum, so erhält der Mathematiker Innenprodukträume, also Vektorräume mit einem Skalarprodukt. Hier gilt die folgende Aussage: Gegeben seien zwei Vektoren v und w. Sind die beiden orthogonal, stehen also senkrecht aufeinander, so gilt:

\|{\mathbf v} + {\mathbf w}\|^{2} = \|{\mathbf v}\|^{2} + \|{\mathbf w}\|^{2}.

Dabei bezeichnet $\| . \|$ die Norm des Raums. Da v+w die Hypotenuse des von v und w aufgespannten Dreiecks ist, steht hier wieder der Satz des Pythagoras, allerdings in abstrakten mathematischen Gebilden wie unendlich dimensionalen Funktionenräumen. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die obige Gleichung zu, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Man kann die Aussage noch weiter verallgemeinern. Sei $S = { u_1, ..., u_n }$ ein Orthogonalsystem mit endlich vielen Elementen, d.h. alle Vektoren $u_k$ stehen orthogonal aufeinander. Dann gilt

\left\| \sum_{k=1}^n u_k \right\|^2 = \sum_{k=1}^n \| u_k \|^2.

Der Beweis ist einfach. Denn die Norm des Innenproduktraums ist $\| v \| = \sqrt{ \langle v, v \rangle }$ , und mit der Linearität des Innenprodukts sowie der Orthogonalität gilt

\left\| \sum_{k=1}^n u_k \right\|^2 = \left\langle \sum_{k=1}^n u_k, \sum_{l=1}^n u_l \right\rangle= \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^n \langle u_k, u_l \rangle = \sum_{k=1}^n \langle u_k, u_k \rangle = \sum_{k=1}^n \| u_k \|^2.

Um eine Aussage über unendliche Summen zu gewinnen, betrachtet man eine Orthogonalfolge $(u_k)$ , d.h. eine Folge, deren Glieder alle orthogonal zueinander sind. Konvergiert die Reihe $\sum_{k=1}^\infty u_k$ , so konvergiert auch $\sum_{k=1}^\infty \| u_k \|^2$ und es gilt

\left\| \sum_{k=1}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=1}^\infty \| u_k \|^2.

Der Beweis der zweiten Behauptung folgt aus der Stetigkeit des Innenprodukts. Eine weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.

Nichteuklidische Geometrie

Nichteuklidische Geometrien sind solche, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt, wie beispielsweise die Geometrie der Kugeloberfläche. Dort gilt der Satz des Pythagoras nicht mehr. Dies liegt daran, dass in solchen Geometrien der Innenwinkelsatz nicht mehr gilt.

Jenseits der Mathematik

Der Satz des Pythagoras ist sicherlich der bekannteste mathematische Satz. Zumindest fällt den meisten zum Stichwort Mathematik oder Pythagoras die Formel $a^2 + b^2 = c^2$ ein, auch wenn wesentlich weniger die genaue Aussage kennen.

Es verwundert nicht, wenn der Satz auch Eingang in mathematikferne Gebiete gefunden hat. Ein bekanntes Beispiel ist das Sonett von Adelbert von Chamisso

Vom pythagoreischen Lehrsatz Die Wahrheit, sie besteht in Ewigkeit, Wenn erst die blöde Welt ihr Licht erkannt; Der Lehrsatz nach Pythagoras benannt Gilt heute, wie er galt zu seiner Zeit. Ein Opfer hat Pythagoras geweiht Den Göttern, die den Lichtstrahl ihm gesandt; Es taten kund, geschlachtet und verbrannt, Einhundert Ochsen seine Dankbarkeit. Die Ochsen seit dem Tage, wenn sie wittern, Daß eine neue Wahrheit sich enthülle, Erheben ein unmenschliches Gebrülle; Pythagoras erfüllt sie mit Entsetzen; Und machtlos sich dem Licht zu widersetzen Verschließen sie die Augen und erzittern.

Quellen und Literatur

Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994 ISBN 38-6025-669-6
Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, 1977 ISBN 35-0699-189-2
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann. Verlag Ullstein, Berlin 1954. Zitate Proklos nach Seiten 103, 118 ISBN B0-000B-JZH-3
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, 1982 ISBN 34-9916-692-5
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck'sche Verlagsbuchhandlung, München 1990 ISBN 34-0602-535-8
Wilhelm Capelle (Hrsg.): Die Vorsokratiker. Alfred Kröner Verlag, Stuttgart 1963. Zitat Plutarch nach Seite 102 ISBN 35-2011-908-0
Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik Birkhäuser Verlag, Berlin 2000 ISBN 37-6436-189-1
Simon Singh: Fermats letzter Satz dtv, München 2000 ISBN 34-2333-052-X

Weblinks

Dreiecksgeometrie | Satz (Mathematik)

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