Sankt-Petersburg-Paradoxon

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Entscheidungstheorie beschreibt das St.-Petersburg-Paradox eine Lotterie (zuweilen als St.-Petersburg-Lotterie bezeichnet), die zu einer Zufallsvariablen mit unendlichem Erwartungswert führt, d. h. zu einer unendlich großen erwarteten Auszahlung, die aber trotzdem nur einen relativ kleinen Geldbetrag wert zu sein scheint. Das St.-Petersburg-Paradox ist eine klassische Situation, in der eine naive Entscheidungstheorie, die nur den Erwartungswert als Kriterium verwendet, eine Entscheidung empfehlen würde, die keine (reale) rationale Person fällen würde.

Das Paradox kann gelöst werden, indem das Entscheidungsmodell durch die Verwendung einer Nutzenfunktion verfeinert wird, oder indem endliche Varianten der Lotterie betrachtet werden.

Das Paradox erhielt seinen Namen von Daniel Bernoullis Präsentation des Problems und seiner Lösung, die er 1738 in den Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg veröffentlichte.

Das Paradox

In einem Glücksspiel, für das eine Teilnahmegebühr verlangt wird, wird eine faire Münze geworfen, solange bis zum ersten Mal "Kopf" fällt. Dies beendet das Spiel. Der Gewinn richtet sich nach der Anzahl der Münzwürfe insgesamt. War es nur einer, dann erhält der Spieler 1 Euro. Bei zwei Würfen (also einmal "Zahl", einem "Kopf") erhält er 2 Euro, bei drei Würfen 4 Euro und so fort. Man gewinnt also 2^k−1 Euro, wenn die Münze k mal geworfen wurde. (In der ursprünglichen Darstellung spielt sich diese Geschichte in einem hypothetischen Kasino in Sankt Petersburg ab, daher der Name des Paradox.)

Welchen Geldbetrag würde man für die Teilnahme an diesem Spiel bezahlen wollen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mal beim k-ten Münzwurf "Kopf" fällt, ist

p_k=\operatorname{Pr}(\mbox{Erstes Mal Kopf beim k-ten Wurf})

=\operatorname{Pr}(\mbox{Kopf beim ersten Wurf})\cdot \operatorname{Pr}(\mbox{Kopf beim zweiten Wurf})

\quad\quad\cdots\operatorname{Pr}(\mbox{Kopf beim }k\mbox{-ten Wurf})

=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2}

=\frac{1}{2^k}.

Wieviel kann man im Durchschnitt erwarten zu gewinnen? Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ist der Gewinn 1 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/4 ist er 2 Euro, mit Wahrscheinlichkeit 1/8 ist er 4 Euro etc. Der Erwartungswert ist daher

E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \cdots

=\sum_{k=1}^\infty p_k 2^{k-1} =\sum_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty.

(Σ bezeichnet eine Summierung, siehe Summenzeichen.) Diese Summe divergiert nach unendlich; "im Durchschnitt" erwartet man daher einen unendlichen Gewinn.

Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, z.B. 1024 Euro oder mehr zu gewinnen sehr klein: kleiner als 1:1000.

Gemäß einer Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert, sollte man daher jede beliebige Teilnahmegebühr akzeptieren. Dies widerspricht natürlich einer tatsächlichen Entscheidung, und scheint auch irrational zu sein, da man in der Regel nur einige Euro gewinnt. Diese offenbar paradoxe Diskrepanz führte zu dem Namen St.-Petersburg-Paradox.

Lösungen des Paradox

Es gibt mehrere Ansätze, dieses Paradox zu lösen.

Erwartungsnutzentheorie

Ökonomen nutzen dieses Paradoxon, um Konzepte in der Entscheidungstheorie zu demonstrieren. Das Paradox wird dabei gelöst, indem die naive Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert durch die (vernünftigere) Erwartungsnutzentheorie (Utility Theorie) ersetzt wird.

Diese Theorie der sinkenden Grenznutzens des Geldes wurde schon von Bernoulli erkannt. Die Hauptidee ist hierbei, dass doppelt soviel Geld nicht doppelt so gut sein muss: Zum Beispiel ist der relative Unterschied in der (subjektiven) Nützlichkeit von 2 Billionen Euro zu 1 Billion Euro sicher kleiner als der entsprechende Unterschied zwischen 1 Billion Euro und gar keinem Geld. Die Beziehung zwischen Geldwert und Nutzen ist also nicht-linear. Verallgemeinert man diese Idee, so hat eine 1:100'000'000'000 Chance, 100'000'000'000 Euro zu gewinnen zwar einen Erwartungswert von einem Euro, muss aber nicht zwingend auch einen Euro wert sein.

Wenn wir nun eine Nutzenfunktion, wie zum Beispiel die von Bernoulli vorgeschlagene Logarithmusfunktion u(x)=ln(x) verwenden, so hat die St.-Petersburg-Lotterie einen endlichen Wert:

EU=\sum_{k=1}^\infty p_k u(2^{k-1}) =\sum_{k=1}^\infty {\ln(2^{k-1}) \over {2^k}}= \ln 2 <\infty.

In Bernoullis eigenen Worten:

"Die Berechnung des Wertes einer Sache darf nicht auf ihrem Preis basiert werden, sondern stattdessen auf die Nützlichkeit, die sie besitzt … Unzweifelhaft ist ein Gewinn von 1000 Dukaten für einen Bettler signifikanter als für einen Wohlhabenden, obgleich beide denselben Betrag erhalten."

Diese Lösung ist jedoch noch nicht vollauf befriedigend, da die Lotterie in einer Weise geändert werden kann, dass das Paradox wiederauftritt: Dazu müssen wir lediglich die Lotterie so ändern, dass die Auszahlungen $e^{2^k}$ betragen, dann ist der Wert der Lotterie, berechnet mit der logarithmischen Nutzenfunktionen, wieder unendlich.

Allgemein kann man für jede unbeschränkte Nutzenfunktion, eine Variante des St.-Petersburg-Paradox finden, die einen unendlichen Wert liefert, wie von dem Österreichischen Mathematiker Karl Menger als erster bemerkt wurde 1934.

Es gibt nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, dieses neue Paradox, das zuweilen Super St. Petersburg Paradox genannt wird, zu lösen:

Man kann berücksichtigen, dass ein Kasino nur Lotterien mit einem endlichen Erwartungswert anbieten würde. Unter dieser Annahme lässt sich zeigen, dass das Paradox verschwindet, falls die Nutzenfunktion konkav ist, was bedeutet, dass man eine Risikoaversion (zumindest für hohe Geldbeträge) voraussetzt.(Vergleiche 1974.)

Man kann annehmen, dass die Nutzenfunktion nach oben beschränkt ist. Dies bedeutet nicht, dass die Nutzenfunktion ab einem bestimmten Wert konstant sein muss. Als Beispiel betrachte $u(x)=1-e^{-x}$ .

In den letzten Jahren wurde die Expected Utility Theory erweitert, um Entscheidungsmodelle zu erhalten, die das reale Verhalten von Testpersonen quantitativ besser beschreiben. In einigen dieser neuen Theorien, wie zum Beispiel in Kumulativer Prospekttheorie, taucht das St.-Petersburg-Paradox in einigen Fällen auch dann auf, wenn die Nutzenfunktion konkav und der Erwartungswert endlich ist, jedoch nicht, wenn die Nutzenfunktion beschränkt ist and Wang, 2006.

Endliche St. Petersburg Lotterie

In der klassischen Variante der St.-Petersburg-Lotterie hat das Kasino unbegrenzte Geldvorräte, das Spiel kann also beliebig lange gehen. Nimmt man hingegen an, dass das Spiel nach maximal N Münzwürfen endet, so erhält man einen endlichen Erwartungswert. Die folgende Tabelle zeigt, welche Erwartungswerte die endliche St.Petersburg Lotterie hat, wenn das Kasino über W Euro verfügt:

Zur Berechnung verwendet man die Formel

E =\sum_{k=1}^L p_k 2^{k-1}+2^{L-1}\sum_{k=L+1}^\infty p_k=\sum_{k=1}^L{1 \over 2}+2^{L-1}(1-(1-{1 \over {2^L}}))={L+1 \over 2},

mit L = 1 + wobei [X die größte ganze Zahl kleiner oder gleich X bezeichnen soll.

Kasino verfügt	Erwartungswert der
über:	endlichen Lotterie:
64 Euro	3.50 Euro
1,000,000 Euro	10.00 Euro
1,000,000,000 Euro	15.00 Euro

Weblinks

Eine kurze Einführung in Utility Theorie und ihre Verbindung zum St. Petersburg Paradox findet sich hier:

The New Scool for Social Research, New York, "The history of economic thought" (in Englisch)

Ein anregender, aber zuweilen nicht ganz korrekter Artikel aus Sicht eines Philosophen findet sich hier:

Martin, Robert (2004), "The St. Petersburg Paradox". In The Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2004 Edition), Edward N. Zalta (ed.) (in Englisch)

Man kann die St.-Petersburg-Lotterie auch online spielen, allerdings ist dabei kein echtes Geld involviert:

http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html

Referenzen

Eine Übersetzung von Bernoullis Originalarbeit ins Englische:

Bernoulli, Daniel (1738), "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica vol. 22 (1954), pp. 23-36

Ein Kommentar bezüglich beschränkter Nutzenfunktion und des St.Petersburg Paradox:

Aumann, Robert J. (1977), "The St. Petersburg paradox: A discussion of some recent comments", Journal of Economic Theory, vol. 14, pp. 443-445

Im Text zitierte Artikel:

Arrow, Kenneth J. (1974), "The use of unbounded utility functions in expected-utility maximization: Response", Quarterly Journal of Economics, vol. 88, pp. 136-138

Menger, Karl (1934), "Das Unsicherheitsmoment in der Wertenlehre", Z. Nationalokon., vol. 51, pp. 459-485

Rieger, Marc Oliver and Wang, Mei (2006), "Cumulative prospect theory and the St. Petersburg paradox", Economic Theory, vol. 28, issue 3, pp. 665-679