Rydberg-Konstante

Die Rydberg-Konstante R (nach Johannes Rydberg) ist die Konstante, mit der sich die Wellenlängen der Spektrallinien eines Atoms errechnen lassen. Für Wasserstoff geschieht das mit Hilfe der folgenden Formel:

$\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right),\ \mathrm{mit}\ n_1=1,2,3,\dots,\ n_2=n_1+1, n_1+2, n_1+3,\dots$

Hierbei ist $\lambda$ die Wellenlänge des Photons, das emittiert wird, wenn ein Elektron von dem Zustand mit der Quantenzahl $n_2$ in den energetisch tiefer liegenden Zustand $n_1$ übergeht. Der Wert der Rydberg-Konstante Zahlenwerte wichtiger Naturkonstanten. Homepage der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, 18. Dezember 2003 beträgt experimentell im MKS-System:

R_{\infty}= 1{,}097\;373\;156\;852\;5\left(73\right)\cdot10^7\ \mathrm{m}^{-1}

Anmerkung: Oft werden auch die Rydberg-Frequenz $R$ und die Rydberg-Energie $R_y$ Fundamental Physical Constants from NIST. National Institute of Standards and Technology (NIST), 14. Januar 2005 als Rydberg-Konstante angegeben:

Rydberg-Frequenz $R = R_\nu = R_\infty \cdot c = 3{,}289\;841\;960\;\left(22\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}$
Rydberg-Energie $R_y=h\cdot R = R_\infty \cdot h \cdot c = 13{,}605\;692\;3\left(12\right) \ \mathrm{eV}$

c

ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und

h

das Plancksche Wirkungsquantum.

In anderen Ein-Elektron-Systemen fließt v.a. noch die Kernladungszahl Z in die Berechnung mit ein. Aber auch die Rydberg-Konstante ändert sich mit der Kernmasse, damit ist sie also individuell für jedes Isotop eines Elements. Sie ändert sich allerdings nur wenig und konvergiert schnell. Die Funktion der Rydberg-Konstanten in Abhängigkeit von der Kernmasse ist gegeben durch

\frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}}

Theoretisch wurde R erstmals von Niels Bohr bestimmt. Er konnte als Folgerung aus seinem Atommodell die Rydberg-Konstante aus fünf fundamentalen Naturkonstanten herleiten:

R_{\infty} = \frac{e^4 m_e}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}

Theoretische Herleitung

Als Ausgangsgleichungen dient der Zusammenhang zwischen der Zentripetal-Kraft $F_Z$ und der Coulombschen-Kraft $F_C$ des Elektrones im Wasserstoffkern. $F_Z = F_C$

$\frac{m_e \cdot V^2}{r} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}$

Nun wird gekürzt und so aufgelöst, dass auf der einen Seite V stehen bleibt und auf der anderen $\frac{1}{V}$ ...

V = \frac{Q_1 \cdot Q_2}{2 \cdot \varepsilon_0 \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot m_e \cdot V}

Nun kann $2 \cdot \pi \cdot r \cdot m_e \cdot V$ durch $n \cdot h$ ersetzt werden (Bohr-Quantenbedingung)...

$V = \frac{Q_1 \cdot Q_2}{2 \cdot \varepsilon_0 \cdot n \cdot h}$

Über diese Geschwindigkeit des Elektrons auf der n-ten Quantenbahn kann man nun die kinetische Energie ausrechnen $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot V^2$

$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \left( \frac{Q_1 \cdot Q_2}{2 \cdot \varepsilon_0 \cdot n \cdot h} \right) ^2$

$E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \frac{Q_1^{\ 2} \cdot Q_2^{\ 2}}{4 \cdot \varepsilon_0^{\ 2} \cdot n^2 \cdot h^2}$

$E_{kin} = m_e \cdot \frac{Q_1^{\ 2} \cdot Q_2^{\ 2}}{8 \cdot \varepsilon_0^{\ 2} \cdot h^2} \cdot \frac{1}{n^2}$

um nun Wellenzahlen $\frac{1}{\lambda}$ zu berechen, werden die Formel $\triangle E = h \cdot f$ (Zweites Borsches Postulat) und $f = \frac{c}{\lambda}$ verwendet

$\frac{1}{\lambda} = \frac{\triangle E}{c \cdot h}$

$\frac{1}{\lambda} = m_e \cdot \frac{Q_1^{\ 2} \cdot Q_2^{\ 2}}{8 \cdot \varepsilon_0^{\ 2} \cdot h^2} \cdot \frac{1}{ c \cdot h } \cdot \frac{1}{n^2}$

$\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e \cdot Q_1^{\ 2} \cdot Q_2^{\ 2}}{8 \cdot \varepsilon_0^{\ 2} \cdot h^3 \cdot c} \cdot \frac{1}{n^2}$

Da die Ladung $Q_1$ die Kernladungszahl und $Q_2$ die Ladung des Hüll-Elektrones ist, kann man auch schreiben $Q_1 \cdot Q_2 = Z \cdot e_{Ladung Proton} \cdot e_{Ladung Elektron} = Z \cdot e^2$ wobei $Z$ die Protonenzahl ist (dies gilt nur für Atome mit einem Hüllelektron d.h $H$ oder $He^{+}$ oder $Li^{++}$ )...

$\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e \cdot Z^2 \cdot e^4}{8 \cdot \varepsilon_0^{\ 2} \cdot h^3 \cdot c} \cdot \frac{1}{n^2}$

Die Rydberg-Konstante ist nun der Teil der Formel ohne die Variable $\frac{1}{n^2}$

K = \frac{m_e \cdot Z^2 \cdot e^4}{8 \cdot \varepsilon_0^{\ 2}  \cdot h^3 \cdot c}

(Für die Protonenzahl Z = 1 oder 2 oder 3)

Quellen

Atomphysik

Rydberg constant | Constante de Rydberg | リュードベリ定数 | Rydbergova konštanta | 里德伯常量

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Theoretische Herleitung

Quellen