Russellsche Antinomie

Die Russellsche Antinomie ist ein von Bertrand Russell formuliertes Paradoxon auf der Grundlage der naiven Mengenlehre. Die Menge M ist definiert als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten".

\mathbb{M} = \{\mathbb{X}\mid\mathbb{X}\notin\mathbb{X}\}

Diese Definition führt zu einem Widerspruch: Es stellt sich die Frage, ob M sich selbst enthält, was einerseits aufgrund der Definition nicht sein kann. Jedoch ist es auch nicht möglich, dass sich M nicht selbst enthält, da M definiert ist als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten", wozu auch M selbst gezählt werden kann. Mathematisch kann dies folgendermaßen ausgedrückt werden:

\mathbb{M} \in \mathbb{M} \Rightarrow \mathbb{M} \notin \mathbb{M}

\mathbb{M} \notin \mathbb{M} \Rightarrow \mathbb{M} \in \mathbb{M}

Es gibt zahlreiche populäre Formulierungen der Russellschen Antinomie. Bekannt ist der Barbier, der alle Männer im Ort rasiert, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese. Die Frage, ob sich der Barbier selbst rasiert oder nicht, führt ebenfalls zu einem Widerspruch (Barbier-Paradoxon).

Durch den axiomatischen Aufbau der Mengenlehre lassen sich Antinomien vermeiden. Er zeigt, dass die Zusammenfassung aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, keine Menge sein kann, sondern eine Klasse bildet - eben weil das sonst zu einem Widerspruch führt. Die Klassendefinition dieser Mengenzusammenfassung ist jedoch in sich widerspruchsfrei und bildet die leere Klasse.

Es ist nicht klar, wann Russell sein Paradoxon entdeckte, es wird jedoch vermutet, dass es im Frühjahr des Jahres 1901 war, als er an seinen Grundlagen der Mathematik arbeitete. 1902 schrieb Russell an Gottlob Frege. Frege hatte ein mengentheoretisches Axiomensystem für die Logik aufgebaut. Die Russellsche Antinomie zeigte, dass dieses Axiomensystem nicht widerspruchsfrei war. Frege erkannte sofort die von Russell aufgezeigten Schwierigkeiten. Er ergänzte die 2. Auflage seines gerade in Druck befindlichen Buches Grundgesetze der Arithmetik durch ein Nachwort:

„Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte. ^*“

Es wird vermutet, dass Frege schließlich seine Arbeiten auf dem Gebiet der axiomatischen Logik aufgrund der Entdeckung des Paradoxons aufgab.

Russell selbst versuchte das Paradoxon durch seine Typentheorie zu lösen. Die frühe Version der Typentheorie (seit Ramsey auch Simplified Theory of Types (STT) genannt) ist hinreichend zur Lösung bzw. Vermeidung der logischen bzw. mengentheoretischen Paradoxien wie der Russellschen Antinomie, nicht aber für die Lösung der semantischen Paradoxien; dies vermag erst seine signifikant kompliziertere von 1908 stammende Version der Typentheorie, die Ramified Theory of Types (RTT).

1908 veröffentlichte Ernst Zermelo ein axiomatisches System der Mengenlehre, das Abraham Fraenkel 1922 erweiterte, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Dieses System oder ein dazu äquivalentes wird heute allgemein als Grundlage der Mathematik verwendet. Man geht davon aus, dass es widerspruchsfrei ist, dies ist jedoch bislang nicht bewiesen worden.

Die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre vermeidet die Russellsche Antinomie wie folgt: Einerseits wird durch das so genannte Fundierungsaxiom sichergestellt, dass keine Menge sich selbst enthalten kann, andererseits gibt es kein Axiom, das sicherstellen würde, dass die Gesamtheit aller Mengen selbst eine Menge bildet. Die Russellsche Antinomie zeigt dann, dass die Gesamtheit aller Mengen tatsächlich keine Menge bildet. (Sie bildet also eine echte Klasse.)

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