Rotationskörper

Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer in einer Ebene liegenden erzeugenden Fläche um eine in derselben Ebene liegende, aber die Fläche nicht schneidende Achse gebildet wird. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus, der durch die Rotation eines Kreises gebildet wird. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder zählen zu den Rotationskörpern.

Das Volumen und die Oberfläche werden mit den Guldinschen Regeln errechnet.

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation des Graphen der Funktion f im Intervall ^* um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung: Bei Rotation um die y-Achse muss man

y=f(x)

umformen zu

x=f^{-1}(y)

x-Achse:

V = \pi \cdot \int_a^b (f(x))^2 \cdot dx

y-Achse:

V = \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(y))^2 \cdot dy

Wenn man hier

x = f^{-1}(y)

substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

V = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot f'(x) \cdot dx

Siehe auch: Mantelfläche

Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers

Der Rauminhalt des Rotationskörpers auf der x-Achse im Intervall ^* wird in n kleine Zylinder mit der Querschnittsfläche

r^2 \cdot \pi

(Kreis) und der Höhe

\Delta x={b-a\over n}

zerlegt. Anschließend lässt man die Anzahl der Zylinder gegen unendlich streben

n \to \infty

, wobei die Höhe der kleinen Zylinder gegen 0 strebt

\Delta x \to 0

. Schließlich müssen nur mehr alle Zylinder summiert werden.

r = f(x_i)

Der Radius ist gleich dem Funktionswert von

x_i

V = \sum_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x

Das sind die Riemann-Summen.

V = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f^2(x_i) \cdot \pi \cdot \Delta x

V = \int_a^b f^2(x) \cdot \pi \cdot dx

\pi

kann man jetzt noch vor das Integralzeichen stellen, dann erhält man die Formel:

V = \pi \cdot \int_a^b f^2(x) \cdot dx = \pi \cdot \int_a^b y^2 \cdot dx

Erstes Guldinsches Postulat

Die Oberfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der erzeugenden Fläche und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes der Umfangslinie (Linienschwerpunkt) erzeugten Kreises:

$S = L \cdot 2 \pi R$

Beispiel: Oberfläche eines Torus:

$S = 2 \pi r \cdot 2 \pi R = 4 \pi^2 r R$

$S$ = Oberfläche
$L$ = Umfang der erzeugenden Fläche
$R$ = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche (Kurvenschwerpunkt!)
$r$ = Radius des erzeugten Kreises

Zweites Guldinsches Postulat

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises:

$V = A \cdot 2 \pi R$

Beispiel: Volumen eines Torus:

$V = \pi r^2 \cdot 2 \pi R = 2 \pi^2 r^2 R$

$V$ = Volumen
$A$ = Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
$R$ = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche
$r$ = Radius des erzeugten Kreises

Siehe auch: Rotationsfläche
Siehe auch: Mantelfläche

Einzelne Rotationskörper

Weblinks

Raumgeometrie