Ringtheorie

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe
multiplikative Halbgruppe
Halbring
Modul

umfasst als Spezialfälle

kommutativer Ring (Axiom K)
unitärer Ring (N)
- Schiefkörper (NI)
  - Körper (KNI)
nullteilerfreier Ring (0)
- Integritätsbereich (0K)
ganze Zahlen Z
euklidischer Ring
Hauptidealring ^*
Polynomringe
Restklassenringe

Ring

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin.

Die Hierarchie algebraischer Strukturen gibt einen Einblick, wo Ringe innerhalb der algebraischen Strukturen einzuordnen sind.

Definition (Ring)

Eine Menge $R$ mit zwei binären Verknüpfungen „+“ und „ $\cdot$ “ auf $R$ ist ein Ring, wenn gilt:

$(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element mit $0$ bezeichnet wird;
die Multiplikation „ $\cdot$ “ ist assoziativ;
es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle $a,b,c\in R$ ist

a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c

und

(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Mathematische Attribute für Ringe

unitär; Ring mit Eins: Ein unitärer Ring oder Ring mit Eins ist ein Ring, der zusätzlich ein neutrales Element der Multiplikation besitzt. D. h. es gibt ein Element $1$ für das gilt $1\cdot a = a\cdot 1 = a$ für alle $a\in R$ . Für einen unitären Ring sind die obenstehenden Axiome nicht unabhängig voneinander, denn die Kommutativität der Addition folgt aus den übrigen Eigenschaften und der Existenz eines Einselementes. Siehe dazu Abschwächungen der Axiome.
kommutativ: Bei einem kommutativen Ring ist auch die Multiplikation kommutativ. Mit kommutativen Ringen mit Eins beschäftigt sich die kommutative Algebra.
nullteilerfrei: In einem nullteilerfreien Ring gibt es keine von $0$ verschiedenen Elemente $a,b$ , so dass $a\cdot b = 0$ .

Eigenschaften

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.
Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.
Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

Spezialfälle

Boolescher Ring: Boolesche Ringe besitzen als Verknüpfungen die Und- und Oder-Verknüpfung. Sie treten in der booleschen Algebra auf.
Körper: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, in dem es zu allen $a\in R\setminus\{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.
Integritätsring: Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins.
Lokaler Ring: Ein lokaler Ring ist ein Ring mit Eins, in dem es genau ein maximales (Links- oder Rechts-)Ideal gibt.
Schiefkörper: Ein Schiefkörper ist ein Ring mit Eins, in dem es zu allen $a\in R\setminus\{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.

Abschwächungen der Axiome

Die Kommutativität der Addition müsste für unitäre Ringe in der Definition nicht gefordert werden, denn sie folgt aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle $a,b\in R$ gilt:

a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)a+(1+1)b=(1+1)(a+b)=

1(a+b)+1(a+b)=a+b+a+b

Addiert man diese Gleichung von links mit

(-a)

und von rechts mit

(-b)

, so erhält man:

a+b = b+a

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre Ringe gültig.

Fordert man von $(R,+)$ anstatt der Struktur der abelschen Gruppe nur die eines kommutativen Monoids, und gilt $a\cdot0=0\cdot a=0$ für alle $a\in R$ , so spricht man von einem Halbring. Auch hier unterscheiden sich die verwendeten Definitionen, manchmal wird nur eine Halbgruppe, manchmal die Existenz eines neutralen Elementes der Multiplikation gefordert.
Eine andere Verallgemeinerung des Ringbegriffes ist der Fastring: Hierzu wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert, und die Addition wird nicht als kommutativ vorausgesetzt.

Literatur

Über Ringe liest man im allgemeinen etwas in Büchern zur Algebra.