Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt die Krümmung der Raumzeit und wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt.

Die Berechnung des Krümmungstensors erfordert einigen mathematischen Aufwand, insbesondere benötigt man einen verallgemeinerten Ableitungsbegriff, die so genannte kovariante Ableitung. Ohne eingehendes Studium der Differentialgeometrie ist eine mathematische Beschreibung nicht möglich.

Der Krümmungstensor beinhaltet die ersten und zweiten Ableitungen des Metrischen Tensors, und die so genannten Christoffelsymbole.

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In Analogie betrachte man den Graph einer gekrümmten Funktion, z.B. von $f(x)=x^2$.

Das Krümmungsverhalten wird durch die Ableitungen der Funktion beschrieben.

Der Graph der Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn $f$(x)<0 ist. In dem Beispiel ist $f$(x)=2>0. Man sagt die Funktion ist linksgekrümmt.

Bei einer gekrümmten Fläche im Raum kann die Krümmung in jeder Richtung unterschiedlich sein, zur Beschreibung der Krümmung in eine Richtung verwendet man Richtungsableitungen.

Richtungsableitungen können durch partielle Ableitungen ausgedrückt werden. Partielle Ableitungen gehen in die Darstellung des Krümmungstensors ein.

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Der Riemannsche Krümmungstensor ist eine vierfach indizierte Größe. Man kann ihn z.B. in der Form

$R^m\{\}\_\{ikp\}$

angeben.

Zur Berechnung des Krümmungstensors bringt man das Gravitationsfeld in jedem Raumzeit-Punkt des gekrümmten Raumes zum Verschwinden und untersucht, wie die entstehenden flachen Räume der Speziellen Relativitätstheorie miteinander zusammenhängen.

Dem Verschwinden des Gravitationsfeldes unter Koordinaten-Koordinatentransformationen entspricht das Verschwinden des Gravitationsfeldes für einen Passagier in einem frei fallenden Fahrstuhl. In einem inhomogenen Gravitationsfeld ist diese Transformation nur lokal möglich, d.h. für die unmittelbare Umgebung eines Raumzeit-Punktes.

Der Fahrstuhl ist sehr klein gegen das Gravitationsfeld der Erde, die Inhomogenität des Feldes kann für die räumlichen Dimensionen des Fahrstuhles vernachlässigt werden, daher ist diese Transformation für Fahrstühle in Gebäuden auf der Erdoberfläche möglich.

In Analogie betrachte man eine Kugel-Oberfläche. Diese gekrümmte Fläche hat in jedem Punkt eine Tangentialfläche. In der Nähe des Punktes unterscheiden sich die Tangentialfläche und die Umgebung des Punktes auf der Kugeloberfläche nur wenig.

Die Krümmung der Kugeloberfläche entspricht der Krümmung der Raumzeit, der Übergang zur Tangentialfläche entspricht dem Übergang zum flachen Raum.

Die Schwierigkeit bei der Kugeloberfläche besteht darin, den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialflächen zu beschreiben. Je zwei Tangentialflächen haben eine unterschiedliche Orientierung im Raum.

Dieses Problem wird in der mathematischen Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten gelöst.

Entsprechende Probleme hat man bei der gekrümmten Raumzeit. Zur Lösung verwendet man die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes. Sind sie vertauschbar, so ist der Raum flach, sind sie nicht vertauschbar, so ist er gekrümmt, und die Krümmung kann durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden.

Abgeleitete Größen aus dem Riemannschen Krümmungstensor

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Ricci-Tensor

In den Einsteinschen Feldgleichungen wird der so genannte Ricci Tensor (nach Gregorio Ricci-Curbastro) $R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$ verwendet. Er ergibt sich aus dem Krümmungstensor folgendermaßen:

$R\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; =\; R^\backslash lambda\{\}\_\{\backslash mu\; \backslash lambda\; \backslash nu\}$

Über gleich vorkommende Indizes, von denen der eine oben und der andere unten stehen soll, wird summiert. Dies ist die so genannte Einsteinsche Summenkonvention. Zur Bildung des Ricci-Tensors wird über den Index $\backslash lambda$ summiert.

Die Bezeichnung der Indizes ist willkürlich, es ist egal ob man einen Index mit i,j oder m bezeichnet. Es kommt nur auf seine Position an.

Krümmungsskalar

Um den Krümmungsskalar (oder Ricci-Skalar, früher auch Laue-Skalar) herzuleiten wird zunächst der Ausdruck $R^\backslash lambda\{\}\_\backslash kappa$ aus dem Ricci-Tensor hergeleitet:

$R^\backslash lambda\{\}\_\backslash kappa=g^\{\backslash mu\; \backslash lambda\}R\_\{\backslash mu\; \backslash kappa\}$

Der Krümmungsskalar ergibt sich folgendermaßen: $R\; =\; R^\backslash lambda\{\}\_\backslash lambda$, d.h. es wird über den Index $\backslash lambda$ summiert.

$g^\{\backslash lambda\; \backslash kappa\}$ ist der Metrische Tensor Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie in kontravarianter Darstellung.

Siehe auch:

• Indexdarstellungen der Relativitätstheorie

Differentialgeometrie

Riemann curvature tensor | Tensor de curvatura | Tenseur de courbure | Тензор кривизны | 曲率張量