Definition

---

In der Kategorientheorie versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus f, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus g gibt mit f o g = id.

Ein Objekt X einer Kategorie $\backslash mathcal\{C\}$ heißt Retrakt eines Objekts $Y\backslash in\; |\backslash mathcal\{C\}|$, wenn es in $\backslash mathcal\{C\}$ einen Pfeil $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ und eine Retraktion $r\backslash colon\; Y\backslash to\; X$ zu f, also einen Pfeil r mit $r\backslash circ\; f=id\_X$, gibt.

Topologische Räume

In der Topologie, also in der Kategorie Top, versteht man unter einer Retraktion eine stetige Funktion $f:\; X\; \backslash to\; Y$, wobei Y eine Teilmenge von X ist und f alle Punkte von Y unverändert lässt, also f(y)=y für alle y aus Y.

Spezielle Kategorien

---

Topologische Räume

Ein Teilraum A eines topologischen Raums X heißt Retrakt von X, wenn es eine Retraktion r zur Einbettung $i\backslash colon\; A\backslash to\; X$ gibt.

A ist genau dann Retrakt von X, wenn jede stetige Abbildung $f\backslash colon\; A\backslash to\; Y$ stetig zu einer Abbildung $g\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ fortgesetzt werden kann:

• Gibt es eine Retraktion $r\backslash colon\; X\backslash to\; A$, so ist $g\; :=\; f\; \backslash circ\; r$ stetige Fortsetzung.
• Eine Fortsetzung von $id\_A$ zu einer stetigen Abbildung $r\backslash colon\; X\backslash to\; A$ ist eine Retraktion.

Deformationsretrakt

A heißt Deformationsretrakt, wenn $i\backslash circ\; r$ homotop zu $id\_X$ relativ A ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle Homotopieäquivalenzen, die diese Äquivalenzrelation erzeugen.

Pfeilkategorie

Ein Pfeil f ist Retrakt eines Pfeils g, wenn es eine natürliche Transformation $\backslash eta\backslash colon\; f\backslash to\; g$ und eine Retraktion $r\backslash colon\; g\backslash to\; f$ gibt, also das folgende Diagramm kommutiert: Retrakt.png

Kategorientheorie | Topologie