Regelkreis

Unter einem Regelkreis versteht man ein System, dessen Ausgangsgröße, die Regelgröße x (Istwerte), möglichst gut seiner Eingangsgröße, der Führungsgröße w (Sollwerte), folgen soll. Kennzeichnend für einen Regelkreis ist der geschlossene Wirkungskreis mit einer negativen Rückkopplung. In einem Regelkreis müssen mindestens zwei Teile unterschieden werden:

Regelstrecke
Regler (Regeleinrichtung)

Blockschaltbild

In der Regelungstechnik werden im Regelkreis fünf Teile unterschieden: Standartregelkreis.png

1. F_R = Regelglied / Regler
2. F_St = Stellglied
3. F_S = Regelstrecke
4. F_Z = Störgrößenübertragungsglied
5. F_M = Meßglied

Es ergeben sich folgende Größen innerhalb des Regelkreises:

w Führungsgröße
e Regelfehler
y_r Hilfsstellgröße
y Stellgröße
z Störgröße
x Ausgangs- / Regelgröße
r Rückführgröße

Das Messglied nimmt von der Regelstrecke die Regelgröße x als Eingangsgröße auf und verarbeitet sie zur Rückführgröße r weiter, die an die Regeleinrichtung geleitet wird.

Aus der Differenz der Führungsgröße w und der Rückführgröße r entsteht der Regelfehler e.

$e = w - r$

Die Regeldifferenz e wird im Regelglied verarbeitet zur Hilfsstellgröße y_r. Das Stellglied verarbeitet die Hilfsstellgröße y_r zur Stellgröße y und beeinflusst damit die Regelstrecke.

Durch Veränderung der Stellgröße y ändert sich die Regelgröße x.

Die Rückführung der Regelgröße über das Meßglied schließt den Regelkreis.

An jeder Stelle des Regelkreises können Störungen z' eingreifen. Im Bild oben verändert die Störgröße z die Regelgröße x. Regelkreise können auch komplexer aufgebaut sein.

Mathematische Beschreibung

Regelkreise können mathematisch mit Hilfe einer speziellen Systemtheorie beschrieben werden, die zusammen mit der Regelungstechnik entwickelt wurde. Diese Theorie vermag sowohl zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete Systeme und Signale zu beschreiben.

Signal

Unter Signal wird die Darstellung einer physikalischen Größe in Abhängigkeit der Zeit verstanden. Signale sind mathematisch gesehen kontinuierliche oder diskontinuierliche Funktionen.

z. B. eine Sinusspannung

$s(t) = A \cdot \sin(\omega t)$

System

Unter einem System wird ein mathematisches Modell verstanden, das in sehr allgemeiner Weise zur Beschreibung und zur Untersuchung technischer Prozesse verwendet werden kann. Ein System kann daher ein Regelkreis sein. Aber auch die Bestandteile (Regler, Regelstrecke ...) selbst sind wiederum Systeme. Es ist charakteristisch für Systeme, daß sie Ein- und Ausgangssignale besitzen. Dabei hängen alle Ausgangsgrößen ursächlich von den Eingangssignalen ab.

Die Eingangssignale von Systemen werden durch die Eigenschaften des Systems in Ausgangsgrößen transformiert. Dieser Sachverhalt wird mathematisch folgendermaßen allgemein beschrieben:

Eingangsgröße: x(t) Ausgangsgröße: y(t) Transformation: T $y(t) = T\{x(t)\}$

Systemverhalten (Transformation)

Die Transformation T (das Systemverhalten an sich) kann durch die sogenannte Übertragungsfunktion - das System an sich - ersetzt werden:

y(t) = (g(t) \quad {\rm gefaltet} \quad {\rm mit} \quad x(t))

Da die Systeme und Signale mathematisch durch Differentialgleichungen im sogenannten Zeitbereich beschrieben werden, ist die rechentechnische Handhabung bekanntlich schwierig. Zudem erschwert die mathematische Operation der Faltung das Rechnen erheblich.

Vereinfachung der mathematischen Handhabung

Durch einen mathematischen "Kniff" läßt sich die Handhabung von Systemen bzw. Regelkreisen unter bestimmten mathematischen Prämissen wesentlich vereinfachen. Liegen sog. LTI-Systeme (Lineare zeitinvariante kausale) vor, können für die Signale und Systeme die sog. Laplace-Transformierten gebildet werden. Der Regelungstechniker wendet die sog. Fourier- und Laplace-Transformationen an.

Die Funktionen des Zeitbereichs werden in Funktionen des Frequenzbereichs mit der imaginären Frequenz Ω transformiert. Symbolisch:

Zeitbereich Frequenzbereich Abhängig von t Abhängig von $\omega = 2 \pi f$

x(t) o-O X(iω) mit p = iω kurz X(p) y(t) o-O Y(iω) mit p = iω kurz Y(p) g(t) o-O G(iω) mit p = iω kurz G(p)

In diesem Falle werden Integral- und Differentialoperatoren auf einfache Multiplikationen und Divisionen reduziert.

Eingangsgröße: X(p) Ausgangsgröße: Y(p) System / Übertragungsfunktion: G(p)

Y(p) = G(p) \cdot X(p)

Zusammenfassung

Grundsätzlich können Regelkreise also mit Hilfe von Funktionen in Abhängigkeit der Zeit oder von Frequenzen beschrieben werden. Ob im Zeit- oder Frequenzbereich gerechnet wird ist Geschmacksache und daher bleibt die Wahl jedem selbst überlassen.

Systemtheoretisch beschreiben also sog. Übertragungsfunktion oder Transferfunktion ein System genau.

Grundsätzlich können alle Bestandteile des Regelkreises, wie zum Beispiel Regelstrecke, Regler, Eingangs-, Stör- und Ausgangsgrößen mathematisch durch eine Übertragungsfunktion beschrieben werden. Regelkreise können dabei mehr als eine Eingangs-, Ausgangs- und Störgrößen haben.

Die Mathematik untersucht grundsätzlich kontinuierliche und diskontinuierliche (diskrete) Systeme in der Regelungstechnik.

Stabilität

Für die Regelungstechnik ist die Stabilität des Regelkreises wichtig. Die Stabilität bezieht sich dabei auf das Verhalten der zu regelnden Ausgangsgrößen in Abhängigkeit der Führungs- (Eingangsgrößen) und Störgrößen des Systems. Regelkreise können immer einem der folgenden Status zugeordnet werden:

stabil
labil
instabil

Im stabilen Fall vermag der Regler der Führungsgröße zu folgen. Im labilen Fall geht der Regler in einen schwingungsfähigen Zustand über. Der instabile Fall wird dabei oft als Resonanzkatastrophe bezeichnet. Diese gilt es unter allen Umständen zu vermeiden.

Um das zu regelnde System stabil zu halten, gibt es zahlreiche mathematische Verfahren zur Bestimmung der Regelkreisstabilität mit Hilfe von Übertragungsfunktionen und bestimmten Eingangsgrößen.

Die Stabilität kann durch mehrere Verfahren bestimmt werden, die unterschiedliche Aspekte einbeziehen; zum Beispiel nach Nyquist, Hurwitz, Routh oder mit dem Cross-over Modell von McRuer.

Simulation

Eine Vielzahl kommerzieller und freier Software erleichtert die Arbeit mit technischen Systemen und Regelkreisen. Mit Hilfe bestimmter Anwendungen lassen sich Regelkreise auf dem Computer modellieren.

Das Verhalten der technischen Systeme kann über die Ausgabe von x-t-Diagrammen, Übertragungsfunktionen, Frequenzgängen, Ortskurven und Wurzelortskurven graphisch dargestellt werden.

Die erstellten Modelle können auf Wunsch mit geeigneter Ausstattung kompiliert und auf eine Elektronik übertragen werden.

Beispiele

Aus der Technik

Drehzahlregelung einer Dampfmaschine mit Fliehkraftregelung (klassisches Beispiel eines Reglers, allerdings nichtlinear)
Temperaturregelung, z.B.: Heizung, Kühlschrank
Regelung der Geschwindigkeit ("Tempomat")
Regelung einer Flugbahn (Autopilot, Beispiel eines komplexen Regelsystems mit mehreren Regelkreisen)

Aus der Biologie

Regelung der Körpertemperatur
Regelung des Pulses
Regelung des Blutdrucks
Regelung des Blutzucker-Spiegels (mittels Insulinausschüttung)
Regelung des Blutspiegels zahlreicher Hormone (z. B. im thyreotropen Regelkreis)
Regelung des Sauerstoffgehaltes des Blutes
Regelung des einfallenden Lichtes durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Pupille
Regelung der Populationsdichte

Aus der Soziologie

Preisbildung im freien Markt
Marktregulierungen des Staates in der Volkswirtschaft

Siehe auch

Kybernetik | Steuerungs- und Regelungstechnik

Control system | Electrónica de control | Sistema de controle | Lineárny regulátor

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