Reelle Zahl

Die Menge der Reellen Zahlen bildet den größten der menschlichen Erfahrung zugänglichen Zahlbereich: Jeder messbaren Größe kann eine reelle Zahl als Maßzahl zugeordnet werden. Damit erweitert dieser Zahlbegriff die Menge der rationalen Zahlen, unter denen für manche Längen (zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1) keine Maßzahl vorhanden ist.

Die Differenzmenge aus reellen und rationalen Zahlen, d.h. die Menge der Zahlen, die reelle Zahlen, aber nicht rationale Zahlen sind, heißt Menge der irrationalen Zahlen; ihre Existenz wurde von den Pythagoräern entdeckt.

Anschaulich ausgedrückt entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten eineindeutig (bijektiv) zugeordnet.

Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol $\mathbb{R}$ (auch $\mathbf{R}$ ) verwendet. Der Name „reelle Zahlen“ soll darauf hinweisen, dass durch sie messbare (also reale oder „reelle“) Größen beschrieben werden. Der Gegenbegriff ist imaginäre Zahlen.

Die reellen Zahlen und Funktionen von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis.

Einteilung der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie −1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, −2/3 usw.) und den irrationalen Zahlen. Typische irrationale Zahlen sind beispielsweise:

die Kreiszahl π (pi),
die Eulersche Zahl $e$
die Wurzeln aus ganzen Zahlen, die nicht ganzzahlige Werte haben wie z. B. $\sqrt{2}$ , aber nicht $\sqrt{4}=2$ .

Kennzeichen irrationaler Zahlen ist, dass sie als Dezimalzahlen dargestellt keine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma haben und die Ziffern nach dem Komma auch keine periodische Folge bilden.

Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d.h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche Wurzelausdrücke. Ihr Komplement ist die Menge der transzendenten Zahlen; sie enthält beispielsweise die Eulersche Zahl $e$ und π.

Mächtigkeiten

Die Mächtigkeit von $\mathbb{R}$ wird mit $\mathfrak c$ (Mächtigkeit des Kontinuums) bezeichnet. Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind (Diese Mächtigkeit wird als erste unendliche Mächtigkeit mit $\aleph_0$ (Aleph)bezeichnet), also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste $x_1,x_2,x_3,\ldots$ reeller Zahlen unvollständig ist.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die Menge der irrationalen und die Menge der transzendenten Zahlen sind jeweils gleichmächtig zur Menge aller reellen Zahlen.

Die Vermutung, dass jede überabzählbare Menge mindestens so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen ist, wird Kontinuumshypothese genannt, kurz formuliert $\mathfrak c = \aleph_1$ . Sie ist unabhängig von den üblicherweise verwendeten Axiomensystemen wie ZFC, d.h. es ist nicht möglich, sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird mathematisch als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt, reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man relativ leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch, also zur Bildung von Äquivalenzklassen geeignet.

Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird eine totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein geordneter Körper.

Eine weitere Konstruktionsmöglichkeit ist die Darstellung der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen. Dabei nutzt man aus, dass jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen eine kleinste obere Schranke hat und "vervollständigt" die rationalen Zahlen in Bezug auf diese Eigenschaft.

Bei der Lösung von kubischen Gleichungen stellte man fest, dass mitunter eine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gezogen werden muss, die in weiterer Folge wieder zu reellen Lösungen führt (Casus irreducibilis). Anfangs wurde das lediglich als eine Art Rechentrick verstanden, in weiterer Folge führte das aber zur Einführung der komplexen Zahlen.

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen

Die Konstruktion der reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen ist etwas mühselig. Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen. Im Wesentlichen benötigt man dazu drei Gruppen von Axiomen - die Körperaxiome, die Axiome der Ordnungsstruktur sowie ein Axiom, das die Vollständigkeit garantiert.

Die reellen Zahlen sind ein Körper
Die reellen Zahlen sind total geordnet (siehe auch geordneter Körper), d.h. für alle reellen Zahlen a, b, c gilt:
1. es gilt genau eine der Beziehungen $a < b, a = b, b < a$ (Trichotomie)
2. aus $a < b$ und $b < c$ folgt $a < c$ (Transitivität)
3. aus $a < b$ folgt $a + c < b + c$ (Verträglichkeit mit der Addition)
4. aus $a < b$ und $c > 0$ folgt $ac < bc$ (Verträglichkeit mit der Multiplikation)
Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von $\mathbb{R}$ besitzt ein Supremum

Alternativ kann der Körper der reellen Zahlen auch charaktisiert werden als vollständiger, archimedisch geordneter Körper, d.h. als ein Körper der folgende Axiome erfüllt:

die Körperaxiome und Ordnungsaxiome
das Archimedische Axiom:
Sind $a$ und $b$ positive reelle Zahlen, dann gibt es ein $n \in \mathbb{N}$ , so dass $na > b$ ist.
das Vollständigkeitsaxiom:
Die reellen Zahlen sind bzgl. der vom Absolutbetrag induzierten Metrik ein vollständiger Raum, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert

Anstelle des Vollständigkeitsaxioms kann man auch das Intervallschachtelungsaxiom setzen:

das Intervallschachtelungsaxiom:
Der Durchschnitt jeder monoton fallenden Folge abgeschlossener beschränkter Intervalle ist nichtleer.

Durch jedes dieser Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt.

Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen

Die übliche Topologie, mit der die reellen Zahlen versehen werden, ist diejenige, die aus der Basis der offenen Kugeln

B_r(p):=\{x\in\R:\|x-p\| erzeugt wird. Da die rationalen Zahlen in dieser Topologie dicht liegen, reicht es, sich auf rationale p, r zu beschränken, die Topologie genügt daher beiden Abzählbarkeitsaxiom en. Äquivalent kann man die übliche Topologie der reellen Zahlen auch als die Topologie von \R als metrischen Raum mit der Metrik d(x,y):=|x-y| definieren.

Im Gegensatz zu den rationalen Zahlen sind die reellen Zahlen ein lokal kompakter Raum, zu jeder reellen Zahl $x$ lässt sich also ein offene Umgebung angeben, deren Abschluss kompakt ist. Solch eine offene Umgebung ist einfach zu finden; jede beschränkte, offene Menge $U$ mit $x\in U$ , leistet das Gewünschte: nach dem Satz von Heine-Borel ist $\bar{U}$ kompakt.

Die reellen Zahlen sind nur lokalkompakt, nicht aber kompakt. Eine verbreitete Kompaktifizierung sind die sogenannten erweiterten reellen Zahlen $\overline{\R}:=\R \cup \{-\infty, +\infty \}$ , wobei die Umgebungen von $-\infty$ durch die Umgebungsbasis $\mathfrak B:=\{B_r(-\infty)|r\in{\Bbb Q}^+\}$ mit $B_r(-\infty):=\{x\in\R|x<-1/r\}$ und die Umgebungen von $+\infty$ durch die Umgebungsbasis $\mathfrak B:=\{B_r(+\infty)|r\in{\Bbb Q}^+\}$ mit $B_r(\infty):=\{x\in\R|x>1/r\}$ definiert werden. Diese Topologie genügt weiterhin beiden Abzählbarkeitsaxiomen. $\overline{\R}\;$ ist homöomorph zum abgeschlossenen Intervall ^*, ein Homöomorphismus ist beispielsweise die Abbildung $x\mapsto \frac 2{\pi}\arctan x$ . Bestimmt divergente Folgen sind in der Topologie der erweiterten reellen Zahlen konvergent, beispielsweise ist die Aussage

\lim_{n\to\infty} n^2\to\infty

in dieser Topologie ein echter Grenzwert.

Mit $-\infty für alle x\in\R sind die erweiterten reellen Zahlen weiterhin total geordnet; es ist allerdings nicht möglich, die Körperstruktur der reellen Zahlen auf die erweiterten reellen Zahlen zu übertragen, beispielsweise hat die Gleichung \infty+x=\infty keine eindeutige Lösung.$

Weblinks

Zahlen