Das Konzept der reduzierten Masse dient dazu, physikalische Zwei-Körper-Probleme in einfacher zu lösende Ein-Körper-Probleme zu wandeln.

Zwei Körper (Massen $m\_1$, $m\_2$) bewegen sich aufgrund von Kräften (Gravitationskraft, Coulomb-Kraft) um den gemeinsamen Schwerpunkt. Man kann dieses Problem jedoch leicht auf ein Einkörper-Problem zurückführen, bei dem sich ein Körper der reduzierten Masse $m\_\backslash mathrm\{red\}$ im Abstand $r$ um eine feste Masse $M$ bewegt. Dabei entspricht $r$ dem relativen Abstand zwischen den beiden Körpern und ersetzt die (absolute) Ortskoordinate des Einkörper-Problems.

Die reduzierte Masse ist geringer als die kleinere der beiden ursprünglichen Massen. Sie ist wie folgt definiert:

$\backslash frac\; \{1\}\; \{m\_\backslash mathrm\{red\}\}\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{m\_\backslash mathrm\{1\}\}\; +\; \backslash frac\; \{1\}\; \{m\_\backslash mathrm\{2\}\}$

was äquivalent ist zu

$m\_\backslash mathrm\{red\}\; =\; \{1\; \backslash over\; +\; \{1\; \backslash over\; \backslash mathrm\{m\_2\}\}\}\}\; =$.

In vielen Fällen (Planetensysteme, Atomkern-Elektron-Systeme) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers um mehrere Größenordnungen. In diesem Fall ist die reduzierte Masse mit der wirklichen Masse des leichteren Teilchens nahezu identisch:

$\{\; m\_\backslash mathrm\; 1\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\; \}$

$\{1\; \backslash over\; \{m\_\backslash mathrm\; 1\}\}\; \backslash rightarrow\; 0$

$m\_\backslash mathrm\{red\}\; \backslash approx\; \{1\; \backslash over\; \{0\; +\; \{1\; \backslash over\; m\_\backslash mathrm\; 2\}\}\}=m\_\backslash mathrm\; 2$

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt.

Herleitung

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Die Gesamtdrehimpulse vor und nach der Vereinfachung müssen gleich sein. Das gilt auch für die Winkelgeschwindigkeit $\backslash omega$ der beteiligten Körper. $r\_1$ bzw. $r\_2$ sei der Abstand von $m\_1$ bzw. $m\_2$ zum gemeinsamen Schwerpunkt.

$m\_1\; r\_1^2\; \backslash omega\; +\; m\_2\; r\_2^2\; \backslash omega\; =\; \backslash mu\; (r\_1+r\_2)^2\; \backslash omega$

$m\_1\; r\_1^2\; +\; m\_2\; r\_2^2\; =\; \backslash mu\; (r\_1+r\_2)^2$

$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{m\_1\; r\_1^2\; +\; m\_2\; r\_2^2\}\{(r\_1+r\_2)^2\}$

Mit dem Schwerpunktsatz $\{m\_1\; \backslash over\; m\_2\}=\{r\_2\; \backslash over\; r\_1\}$ folgt:

$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{m\_1\; +\; m\_2\; (\{m\_1\; \backslash over\; m\_2\})^2\}\{(1\; +\; \{m\_1\; \backslash over\; m\_2\})^2\}\; =\; \backslash frac\{m\_1\; \backslash left(\; 1\; +\; \{m\_1\; \backslash over\; m\_2\}\backslash right)\}\{(1+\{m\_1\; \backslash over\; m\_2\})^2\}\; =\; \{m\_1\; \backslash over\; \{1+\{m\_1\; \backslash over\; m\_2\}\}\}\; =\; \{m\_1\; m\_2\; \backslash over\; m\_1\; +\; m\_2\}$

Mechanik

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