Randbedingungen sind konkrete Angaben zum Errechnen der Lösung einer Differentialgleichung, wobei alle benötigten Angaben für (meist zwei) verschiedene Werte der unabhängigen Variablen (dem Randwert) gegeben sind.

Randwertaufgaben haben nicht immer eine eindeutige oder überhaupt existente Lösung (siehe Beispiel). Die numerische Berechnung von Randwertaufgaben mit Mitteln der numerischen Mathematik ist wesentlich aufwendiger und läuft meist auf die Lösung sehr großer Gleichungssysteme hinaus.

Beispiel

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Sei die gegebene Differentialgleichung $y\text{'}\text{'}(x)=-y(x)$. Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist $a\backslash sin(x)+b\backslash cos(x)$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=1$ und $y(\backslash pi/2)=0$. $\backslash Rightarrow$ Die Lösung ist $y=\backslash cos(x)$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=0$ und $y(\backslash pi)=0$. $\backslash Rightarrow$ Es gibt unendlich viel Lösungen der Form $a\backslash sin(x)$ mit beliebigem $a$.

• Gesucht ist die Lösung mit $y(0)=0$ und $y(2\backslash pi)=1$. $\backslash Rightarrow$Es gibt keine Lösung.

Arten von Randbedingungen

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Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, auf dem Rand des betrachteten Gebietes Werte vorzuschreiben. Eine Möglichkeit ist es, Werte der Lösung vorzuschreiben, dann spricht man von Dirichlet-Randbedingungen. Auf der anderen Seite kann man Bedingungen an die Ableitungen stellen, dann spricht man von Neumann-Randbedingungen.

Künstliche Randbedingungen

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Bei unbeschränkten Gebieten erfordert die numerische Lösung üblicherweise eine Einschränkung des Gebiets. Hier sind dann Randbedingungen vorzugeben, die im eigentlichen Problem nicht vorhanden, also künstlich sind. Im Regelfall kann allerdings nicht erreicht werden, dass die Lösung auf dem beschränkten Gebiet mit Randbedingungen identisch mit der Lösung auf dem unbeschränkten Gebiet ist.

Siehe auch: Anfangsbedingung | Differentialgleichungen

boundary condition

Randvoorwaarde (wiskunde)