Unter RC-Gliedern versteht man in der Elektronik Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand (R) und einem Kondensator (C) aufgebaut sind. Es ist ein lineares, zeitinvariantes System. In erster Linie sind damit die Frequenzfilter Tiefpass und Hochpass gemeint (wobei letzteres genau genommen CR-Glied genannt werden müsste). Tiefpass.PNG

Verhalten im Zeitbereich

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Ladevorgang

Exemplarisch ist hier die Systemantwort auf eine Sprungfunktion dargestellt. Die Spannung beträgt null Volt bis zum Zeitpunkt null und steigt dann auf $U\_q$.
In den Kondensator fließt solange Strom, bis die Platten elektrisch aufgeladen sind und keine weitere Ladung annehmen. Dies tritt auf, wenn die Kondensatorspannung U(t) genauso groß wie die angelegte Spannung U_q ist. Die eine Platte ist dann elektrisch positiv, die andere negativ geladen. Auf der negativ geladenen Seite herrscht ein Elektronenüberschuss.

Die Ladezeit des Kondensators ist proportional zur Größe des Vorwiderstandes R und proportional zu seiner Kapazität C. Das Produkt von Vorwiderstand und Kapazität nennt man die Zeitkonstante $\backslash tau$.

$$

\tau = R \cdot C

Theoretisch dauert es unendlich lange, bis U(t)=U_q ist. Für praktische Zwecke kann man als Ladezeit t_L verwenden, nach der der Kondensator näherungsweise als vollständig geladen angesehen werden kann.

$$

t_{L} = 5 \cdot \tau

Ladevorgang.PNG Die Zeitkonstante τ markiert zugleich den Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert erreicht. Nach dieser Zeit wäre der Kondensator auf den Endwert geladen, wenn man ihn mit dem konstanten Strom $I\_\{max\}$ laden könnte. Tatsächlich nimmt die Stromstärke bei konstanter angelegter Spannung jedoch mit der Zeit exponentiell ab.

Der maximale Strom $I\_\{max\}$ fliest zum Zeitpunkt t=0. Dieser ergibt sich durch den Widerstand R nach dem ohmschen Gesetz, wobei U_q die angelegte Spannung der Spannungsquelle ist:

$$

I_{max} = \frac{U_q}{R}

Der Verlauf der Ladespannung U(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben, wobei e die Eulersche Zahl und t die Zeit nach Beginn der Ladung ist:

$$

U(t) = U_q \cdot (1 - e^{-{t \over \tau}}) ,

wobei vorausgesetzt wird, dass der Kondensator zu Beginn ungeladen war: $U(t=0)\; =\; 0\; V$. Die Spannung ist also im ersten Moment Null und steigt dann in Form einer Exponentialfunktion an. Nach der Zeit $t=\backslash tau$ hat die Spannung etwa 63 % der angelegten Spannung U_q erreicht. Nach der Zeit $t=5\backslash tau$ ist der Kondensator auf 99,3 % aufgeladen.

Der Verlauf der Stromstärke I(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben:

$$

I(t) = I_{max} \cdot e^{-{t \over \tau}}

Hier beträgt der Strom im ersten Moment $I(t=0)\; =\; I\_\{max\}$ und nimmt dann in Form einer Exponentialfunktion ab. Nach der Zeit $t=\backslash tau$ beträgt der Strom nur noch etwa 37 % seines Anfangswertes und nach der Zeit $t=5\backslash tau$ ist er auf 0,7 % abgefallen.

Entladevorgang

Fällt umgekehrt die Spannung zum Zeitpunkt null von $U\_q$ auf null, so gleichen sich die Ladungen der Platten aus. Es fließt solange Strom, bis beide Platten wieder elektrisch neutral sind.

Schaltet man im anfänglichen Bild den Schalter nach Stellung (2) um, nachdem der Kondensator auf den Wert U_max geladen ist, so entlädt er sich über den Widerstand R. Hier ist sowohl die Spannung als auch die Stromstärke zu Beginn am größten:

Für t = 0 gilt: $I\_\{max\}\; =\; \{U\_\{max\}\; \backslash over\; R\}$      und beträgt zu einem beliebigen Zeitpunkt danach      $I(t)\; =\; \{U(t)\; \backslash over\; R\}$

Entladevorgang.PNG

Die Spannung nimmt im Verlaufe der Entladung mit der Zeit ab gemäß

$$

U(t) = U_{max} \cdot e^{-{t \over \tau}}

Der Strom, der mit der Spannung U(t) über den Entladewiderstand R verknüpft ist, zeigt den entsprechenden Verlauf

$$

I(t) = I_{max} \cdot e^{-{t \over \tau}}

Der Entladestrom ist bei der vorgegebenen Zählpfeilrichtung negativ.

Impulsantwort

Die Impulsantwort beschreibt den Ausgangsspannungsverlauf auf eine diracimpulsförmige Eingangsspannung, der Ableitung der Sprungfunktion. Da das RC-Glied ein lineares System ist, ist auch der Ausgangsspannungsverlauf durch die Ableitung vorgegeben:

$$

U(t) = U_q \cdot \left|\frac{d}{dt}(1 - e^{-{t \over \tau}})\right| = \frac{U_q}{|\tau |}e^{-{t \over \tau}}

Verhalten im Frequenzbereich

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Tiefpass

Butterworth response.png zeigt die Amplitudenverhältnis $|H|$ in Dezibel, die Abszisse die normierte Winkelfrequenz in logarithmischer Darstellung.]] Widerstand und Kondensator bilden einen frequenzabhängigen Spannungsteiler; die Impedanzen Z sind R bzw. $1/(j\backslash omega\; C)$. Für das RC-Glied gilt für eine harmonisch oszillierende Spannung der Frequenz $f$:

$$

U_a = U_e \cdot \frac{Z_C}{Z_R+Z_C}

und somit für das Übertragungsverhalten, das als Quotienten von Ausgangs- zur Eingangsspannung definiert ist:

$$

H=\frac{U_a}{U_e}=\frac{Z_C}{Z_R+Z_C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}= \frac{1}{1+j\omega RC}=\frac{1}{1+j\Omega} ,

wobei die normierte Frequenz $\backslash Omega=\backslash omega/\backslash omega\_0$ sich aus der Division von Kreisfrequenz $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\backslash ,f$ und Grenzfrequenz $\backslash omega\_0=1/(RC)$ ergibt.

Für tiefe Frequenzen Ω << 1 ist H ungefähr 1, Ein- und Ausgangsspannung etwa gleich, weshalb man den Bereich auch engl. als Passband bezeichnet. Für Frequenzen Ω >> 1 fällt H mit etwa 20dB/Dekade ab, dieser Bereich wird engl. als Stopband bezeichnet.

Hochpass

Die Verschaltung als Hochpass unterscheidet sich von der des Tiefpasses durch Vertauschung von R und C. Demgemäß gilt

$U\_a\; =\; U\_e\; \backslash cdot\; \backslash frac\{Z\_R\}\{Z\_C+Z\_R\}$

und

$H=\backslash frac\{U\_a\}\{U\_e\}=\backslash frac\{Z\_R\}\{Z\_C+Z\_R\}=\backslash frac\{R\}\{\backslash frac\{1\}\{j\backslash omega\; C\}+R\}=\; \backslash frac\{j\backslash omega\; RC\}\{1+j\backslash omega\; RC\}=\backslash frac\{j\backslash Omega\}\{1+j\backslash Omega\}$,

Der Amplitundengang ist gegenüber dem Tiefpass entlang $\backslash Omega\; =\; 1$ gespiegelt, hohe Frequenzen können nahezu ungedämpf passieren.

Beschreibung im Spektralbereich (Laplace-Transformation)

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Mit einer analogen Herleitung erhält man für den Tiefpass

$$

H(s)=\frac{1}{1+sRC} ,

eine Polstelle bei $s=-1/RC$. Bei dem Hochpass

$$

H(s)=\frac{sRC}{1+sRC} ,

ergibt sich ebenfalls eine Polstelle bei $s=-1/RC$, zusätzlich eine Nullstelle im Ursprung.

Weblinks

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• RC-Glieder (Filter) mit 6 dB pro Oktave unter der Lupe
• RC-Glieder (Filter) - 6 dB pro Oktave entsprechen 20 dB pro Dekade

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