Röntgenbeugung (häufig auch engl. X-Ray Diffraction, XRD) bezieht sich auf Beugungserscheinungen, die mit Röntgenstrahlung beobachtet werden (grundsätzlich zeigt Röntgenstrahlung die gleichen Beugungserscheinungen wie Licht und alle anderen elektromagnetischen Wellen auch).

Geeignete Beugungsgitter für Röntgenstrahlen sind die regelmäßigen Gitterstrukturen von Kristallen, weil hier Gitterkonstante und Wellenlänge der Röntgenstrahlung ($\backslash lambda$ = 0,1 pm bis 10 nm) von ähnlicher Größenordnung sind.

Im elektromagnetischen Feld der einfallenden Röntgenstrahlung werden die Elektronen der Atome zu erzwungenen Schwingungen angeregt und strahlen nun selbst Röntgenstrahlen gleicher Frequenz in Form kugelförmiger Wellen ab (sogenannte Sekundärwellen). Jedes Atom im Kristall emittiert also Röntgenstrahlung. Konstruktive und destruktive Interferenz der von den Atomen abgestrahlten Röntgenstrahlung führt zu den Beugungserscheinungen.

Diffusion rayleigh et diffraction.png

Manchmal wird in diesem Zusammenhang auch von Streuung (engl. diffraction) gesprochen.

Die Kristallstrukturanalyse ist eine wichtige wissenschaftliche Anwendung des Phänomens der Röntgenbeugung. Dabei werden Röntgenstrahlen in einem Röntgendiffraktometer an Kristallen gebeugt; die räumliche Anordnung der Atome im Kristall wird sodann aus den Beugungserscheinungen abgeleitet. Die Bragg-Gleichung ist die zugrunde liegende mathematische Beziehung (William Henry Bragg, William Lawrence Bragg):

$2d\backslash cdot\; \backslash sin(\backslash theta)=n\; \backslash cdot\; \backslash lambda$

Die zu untersuchende Substanz wird mit einem monochromatischen Röntgenstrahl der Wellenlänge $\backslash lambda$ bestrahlt: Bei einem Netzebenenabstand $d$ wird dieser Strahl um $2\; \backslash theta$ abgelenkt, wenn der einfallende Strahl in einem Winkel von $\backslash theta$ eingefallen ist. $n$ ist die Ordnung des Beugungsmaximums. Aus den bekannten oder gemessenen Größen $n$, $\backslash lambda$ und $\backslash theta$ wird der gesuchte Netzebenenabstand $d\_\{hkl\}$ berechnet; (hkl) bezeichnet die Gesamtzahl aller parallelen Netzebenen mit den Millerschen Indizes (hkl). Aus dem Netzebenenabstand $d\_\{hkl\}$ lassen sich die Gitterkonstanten der kristallografischen Elementarzelle ableiten. Im kubischen Kristallsystem ist

$\backslash frac\{1\}\{d\_\{hkl\}^2\}\; =\; \backslash frac\{h^2\; +\; k^2\; +l^2\}\{a^2\}$.

Unter den durch die Bragg-Gleichung angegeben Winkeln findet eine konstruktive Interferenz der einzelnen gestreuten Strahlen statt. Beobachtbare Röntgenbeugungsmaxima treten also nur in diesen Fällen auf.

Die Beugung kann nach Bragg modellhaft auch als partielle Reflexion der Röntgenstrahlen an den Netzebenenschaaren des Kristallgitters beschrieben werden. Wenn für eine Schaar paralleler Netzebenen die Bragg-Gleichung erfüllt ist, überlagern sich die von den Einzelebenen reflektierten Wellen so, dass konstruktive Interferenz entsteht. Es gibt also für jede Netzebenenschaar nur bestimmte Winkel unter denen Reflexion stattfindet. Diese Winkel heißen Glanzwinkel oder Bragg-Winkel.

Während sich aus der Position der Reflexe mit Hilfe der Bragg-Gleichung der Netzebenenabstand $d\_\{hkl\}$ und die Gitterkonstanten der Elementarzelle berechnen lassen, kann man aus den Intensitäten der Reflexe die Verteilung der Elektronendichte innerhalb der Elementarzelle ableiten. Dabei ist die gemessene Intensität I proportional zum Quadrat des Strukturfaktors F,

$I\_\{hkl\}\; \backslash propto\; |F\_\{hkl\}|^2$

und der Strukturfaktor F ist die Fourier-Transformation der Elektronendichte $\backslash rho$

$F\_\{hkl\}\; =\; \backslash int\_0^a\; \backslash int\_0^b\; \backslash int\_0^c\; \backslash rho(xyz)\; exp2\backslash pi\; i\; (\; \backslash frac\{hx\}\{a\}+\backslash frac\{ky\}\{b\}+\backslash frac\{lz\}\{c\})dx\; dy\; dz$

wobei abc die Gitterkonstanten, xyz die Koordinaten in der Elementarzelle und hkl die Millerschen Indizes darstellen. Den Positionen der Elektronendichtemaxima entsprechen dabei die Positionen der Atome in der Elementarzelle; Wasserstoffatome, bei denen das Maximum der Elektronendichte auf der Bindung zum Nachbaratom liegt, bilden die einzige Ausnahme. Ed_maleinanhydrid.png

Die gemessen Intensitäten besitzen nur Informationen über die Amplitude, also den Betrag des Strukturfaktors. Um aus den Intensitäten die Strukturfaktoren abzuleiten, muss deshalb das Phasenproblem gelöst werden. Sehr häufig werden dazu die Direkten Methoden verwendet, für deren Entwicklung Herbert A. Hauptman und Jerome Karle 1985 den Nobelpreis für Chemie erhielten. Eine andere wichtige Methode zur Lösung des Phasenproblems ist die Patterson-Methode, die vor allem bei Anwesenheit von Schweratomen verwendet wird.

In der Praxis werden Fouriermethoden selten eingesetzt. Stattdessen verwendet man die Strukturverfeinerung. Der Strukturfaktor F lässt sich auch ausdrücken als Summe aller atomaren Streufaktoren $f$ der Atome in der Elementarzelle.

$F\_\{hkl\}\; =\; \backslash sum\_j^N\; f\_j\; expi\; (hx\_j\; +\; ky\_j\; +\; lz\_j)$

wobei über alle N Atome j in der Elementarzelle summiert wird, xyz die Koordinaten des Atoms j und hkl die Millerschen Indizes darstellen. Der atomare Streufaktor f ist die Fourier-Transformation der Elektronendichte eines Atoms. Normalerweise wird dabei die Elektronendichte eines kugelförmigen Atoms angenommen, das nicht mit seinen Nachbaratomen überlappt. Mit Hilfe dieser Summengleichung lässt sich also der Strukturfaktor aus den Koordinaten der Atome in der Elementarzelle berechnen. In der Strukturverfeinerung verändert man nun das Strukturmodell (die Atomkoordinaten) solange, bis der Unterschied zwischen den experimentell gemessenen Strukturfaktoren $F\_\{hkl\}$ und den aus dem Modell berechneten Strukturfaktoren $F\_\{hkl\}$ minimal wird. Zur Strukturverfeinerung mit Computerprogrammen wird die Methode der kleinsten Quadrate eingesetzt.

Adp_maleinanhydrid.png Atome im Kristallgitter schwingen um ihre Ruheposition. Weil sich das auch auf die Reflexintensitäten auswirkt, werden die atomaren Streufaktoren für die thermische Bewegung korrigiert. Das Strukturmodell besteht folglich aus kugelförmigen Atomen, die um ihre Ruheposition (harmonisch) schwingen.

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