Die Quotiententopologie (auch Identifizierungstopologie genannt) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Anschaulich entsteht diese Topologie, wenn man Punkte „zusammenklebt“, d.h. zwei ehemals verschiedene Punkte als ein und denselben Punkt identifiziert. Solche Punkte werden mittels einer Äquivalenzrelationen festgelegt. Das geschieht im Allgemeinen um neue topologische Räume aus bestehenden abzuleiten.

Definition

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Es sei $X$ ein topologischer Raum und $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist die durch $f$ induzierte Quotiententopologie auf $Y$ diejenige, in der eine Teilmenge $U\backslash subseteq\; Y$ genau dann offen ist, wenn das Urbild $f^\{-1\}(U)$ offen ist.

Eigenschaften

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• Die Quotiententopologie ist die stärkste Topologie auf $Y$, für die die Abbildung $f$ stetig ist.
• Versieht man $Y$ mit der Quotiententopologie, so ist $f$ eine Quotientenabbildung: Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $f\backslash colon\; Y\backslash to\; Z$ eine Abbildung der zugrundeliegenden Mengen, so ist $f$ genau dann stetig, wenn $f\; \backslash circ\; q$ stetig ist:

QuotientSpace-01.png

Wichtige Spezialfälle

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• Ist $\backslash sim$ eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum, so versieht man die Menge $X/\{\backslash sim\}$ der Äquivalenzklassen meist ohne weitere Erwähnung mit der von der kanonischen Abbildung $X\backslash to\; X/\{\backslash sim\}$ induzierten Quotiententopologie.
• Ist insbesondere $G$ eine topologische Gruppe und $H$ eine Untergruppe von $G$, so versieht man die homogenen Räume $G/H$ und $H\backslash backslash\; G$ mit der Quotiententopologie.
• Zusammenschlagen eines Teilraumes zu einem Punkt: Ist $X$ ein topologischer Raum und $Z$ eine Teilmenge von $X$, so bezeichnet $X/Z$ die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte $x\_1,x\_2\backslash in\; X$ äquivalent heißen, wenn sie gleich sind oder beide in $Z$ liegen. Die Abbildung $X\backslash to\; X/Z$ ist außerhalb von $Z$ injektiv, und das Bild von $Z$ ist ein einzelner Punkt.

Man beachte die Verwechslungsgefahr bei der Notation $G/H$.

Beispiele

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• Es sei $X=*$ das Einheitsintervall und $Y=S^1=\backslash \{(x,y)\backslash in\backslash mathbb\; R^2\backslash mid\; x^2+y^2=1\backslash \}$ die Einheitskreislinie. Dann ist die durch die Abbildung

$f\backslash colon\; X\backslash to\; Y,\backslash quad\; t\backslash mapsto(\backslash cos\; 2\backslash pi\; t,\backslash sin\; 2\backslash pi\; t)$

induzierte Quotiententopologie auf $Y$ gleich der Teilraumtopologie von $Y$ als Teilmenge von $\backslash mathbb\; R^2$.

• Der homogene Raum $\backslash mathbb\; R/\backslash mathbb\; Z$ ist ebenfalls homöomorph zur Kreislinie $S^1.$
• Ist $X=*$ das Einheitsintervall und $Z=\backslash \{0,1\backslash \}\backslash subset\; X$, so ist der durch Zusammenschlagen von $Z$ zu einem Punkt entstehende Raum $X/Z$ homöomorph zur Kreislinie $S^1.$
• Der Raum, den man erhält, wenn man die Teilmenge $\backslash mathbb\; Z$ von $\backslash mathbb\; R$ zu einem Punkt zusammenschlägt, besteht anschaulich gesprochen aus unendlich vielen Kreisen, die in einem Punkt zusammengeklebt wurden.

Topologie

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