Die Poissonzahl μ (auch Querkontraktionszahl, Querdehnungszahl oder Querdehnzahl genannt) ist eine Größe in der Mechanik bzw. Festigkeitslehre. Sie dient der Berechnung der Querkontraktion und ist nach Siméon Denis Poisson benannt.

Definition

---

Die Poissonzahl ist definiert als Verhältnis aus relativer Dickenänderung $\backslash Delta\; d/d$ zur relativen Längenänderung $\backslash Delta\; l/l$ bei Einwirkung einer äußeren Kraft oder Spannung.

Es gilt also:

$\backslash mu\; =\; -\backslash frac\; \{\backslash Delta\; d/d\}\; \{\backslash Delta\; l/l\}$.

Poissonzahl.png

Auch das Zeichen $\backslash nu$ statt $\backslash mu$ wird oft verwendet. Die Poissonzahl ist eine dimensionslose Größe. Die Poissonzahl ist eine Materialkonstante, d.h. sie ist abhängig vom Material des verwendeten Werkstücks. Die elastischen Konstanten hängen über die Poissonzahl zusammen. So gilt für linear-elastisches, isotropes Material folgender Zusammenhang zwischen dem Schubmodul G und dem Elastizitätsmodul E:

$G\; =\; \backslash frac\; \{E\}\; \{2(1+\backslash mu)\}$

Die relative Volumenänderung ΔV/V, mit der ein Körper auf ein-achsige Dehnung (Zugversuch) reagiert, berechnet sich mit Hilfe der Poissonzahl unter Vernachlässigung quadratischer Terme aus

$\backslash frac\; \{\backslash Delta\; V\}\; \{V\}\; =\; (1-2\backslash mu)\backslash frac\; \{\backslash Delta\; l\}\; \{l\}$.

Gültigkeitsbereich

---

Die Poissonzahl liegt überlicherweise zwischen 0 und 0,5. Typische, häufige Werte der Poissonzahl liegen zwischen 0,1 und 0,4.

Bei einer Poissonzahl $\backslash mu\; =\; 0,5$ bleibt das Volumen eines elastischen Körpers unter Belastung konstant.

Bei einer Poissonzahl kleiner als 0,5 nimmt bei Zugbelastung das Volumen zu, bei Druckbelastung ab.

Bei Werten größer als 0,5 würde bei Zugbelastung eine Abnahme des Volumens auftreten. Dies kann es aus energetischen Gründen nicht geben.

Vereinzelt sind auch Materialien mit negativer Poissonzahl bekannt.Klaas Kölln: Morphologie und mechanische Eigenschaften von Zellulosefasern, Dissertation Uni Kiel, S. 22 Negative Werte ergeben eine Querdehnung anstatt eine Querkontraktion bei Längendehnung. So etwas wurde z. B. bei gewissen Polymerschäumen, Kristallen oder Carbonfasern beobachtet.

Der Kehrwert der Poissonzahl

---

In der Geotechnik und Felsmechanik wird auch der Kehrwert der Poissonzahl als „Poissonzahl“ bezeichnet. Oft wird dann das Zeichen m verwendet. Eine einheitliche Bezeichnung hat sich bisher nicht durchgesetzt. Zur Vereinheitlichung wäre folgende Regelung empfehlenswert:

• Querdehnzahl: Zeichen: $\backslash nu$ oder $\backslash mu$; mit Zahlenwerten von 0 bis < 0,5
• Poissonzahl: Zeichen m; mit Zahlenwerten > 2

wobei gilt:

$\backslash mu\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{m\}$

Zahlenwerte für $\backslash mu$

---

Querdehnzahl $\backslash mu$ für einige Materialien:

• Aluminium: 0,33
• Stahl: 0,2-0,33
• Beton: 0,2
• Blei: 0,45
• Messing: 0,37
• Glas: 0,23
• SiC: 0,17
• Si₃N₄: 0,25

Für metallische Werkstoffe wird häufig ein Wert von $\backslash mu\; =\; 0,3$ oder $\backslash mu\; =\; 1/3$ angenommen, falls keine genaueren Werte bekannt sind. Ein Fehler in der Poissonzahl wirkt sich in der Berechnung des Bauteilverhaltens unter mechanischer Beanspruchung deutlich weniger aus als ein Fehler im E-Modul. Deshalb muss der E-Modul für das verwendete Material genau bestimmt werden (z. B. im Zugversuch), während für die Querkontraktion häufig ein ungefährer Wert genügt.

Quellen

---

Weblinks

---

• Einige Beispiele für Querdehnzahlen
• Materialien mit negativen Poissonzahlen (englisch)

Technische Mechanik | Festigkeitslehre | Werkstoffeigenschaft

Poisson's ratio | Coeficiente de Poisson | Coefficient de Poisson | Coeficiente de Poisson | ポアソン比 | 푸아송 비 | Poisson-factor | Współczynnik Poissona | Poissonovo število | 蒲松比