Als Quantisierungsrauschen bezeichnet man Störungen bei der digitalen Umsetzung analoger Signale.

Das Quantisierungsrauschen tritt auf, wenn ein analoges Signal, wie etwa eine Welle, mit endlicher Auflösung in ein digitales Signal umgewandelt wird (siehe auch Nyquist-Frequenz). Die hierbei auftretenden Quantisierungsfehler entstehen, da beim Quantisieren nur diskrete Zahlen verwendet werden. Es entsteht also ein Abtastfehler, der aus der Differenz zwischen dem tatsächlichen Signalwert und dem quantisierten Wert besteht. Ist die Amplitude des Signals gering im Vergleich zum maximal darstellbaren digitalen Wert, machen sich die Störungen im digitalen Signal bemerkbar (Auf Grund der Eigenschaften des menschlichen Gehörs). Der Signal-Rausch-Abstand sinkt. Den Effekt kann man z.B. bei alten Synthesizern oder Samplern hören, wenn ein mit niedriger Bit-Zahl "gesampelter" Klang ausklingt und sich dabei in ein knisterndes Rauschen verwandelt.

Die statistischen und spektralen Eigenschaften des Quantisierungsrauschens hängen zwar mit vom Originalsignal ab, werden aber zur Vereinfachung meist als weisses Rauschen angenommen.

Um den Signal-Rausch-Abstand bei einem Informationssignal z.b: Sprache immer möglichst gleich zu halten hat man sich bei der Telekommunikation geeinigt kleinere (im Vergleich zum maximal darstellbaren digitalen Wert) Signale höher aufzulösen jedoch im Gegensatz dazu größere Signale geringer aufzulösen. Man spricht dabei von Kompandierung oder auch Kompression. Es entstand dabei eine sog. genormte 13-Segment Kennlinie die heute noch im Fernsprechwesen verwendet wird.

Messgrößen

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Das Quantisierungsrauschen wird durch die Parameter Signal-Rausch-Verhältnis oder Signal-Rausch-Abstand quantitativ angegeben. Ist in der Literatur von Signal-Noise-Ratio (= SNR) die Rede, so ist in der Regel damit der Signal-Rausch-Abstand gemeint.

Zur Vollständigkeit sei hier das Signal-Rausch-Verhältnis für den kontinuierlichen Fall ohne Quantisierung erwähnt. Dieses Verhältnis ist ein Faktor, der angibt, um das Wievielfache ein Signal mit Vollausschlag größer ist als das Rauschsignal: $Sn\; =\; Useff/Ureff$. Der Signal-Rausch-Abstand ist die dimensionslose, logarithmische Darstellung $SNR\; =\; 10*log(Sn^2)$ und wird in dB ausgedrückt.

Um den Signal-Rausch-Abstand des Quantisierungsrauschen zu bestimmen, sind Vereinbarungen über die Art der Quantisierung und über das zu quantisierende Signal zu treffen. In Abhängigkeit dieser Parameter ändert sich das Quantisierungsrauschen.

Im einfachsten Fall, für eine lineare Puls-Code-Modulation und bei einem sinusförmigen Signalspannung mit Vollpegelaussteuerung am Wandler kann der Signal-Rausch-Abstand zu

$SNR\; =\; N\; *\; 6,02dB+1,76dB$

bestimmt werden, wenn $N$ die Anzahl der Bits des A/D-Wandler ausdrückt.

Zur Herleitung dieser Beziehung wird zunächst der Quantisierungsschritt $q$ des A/D-Wandlers bestimmt. Die Vollaussteuerung ist dabei die doppelte Amplitude $A$. Bei einem Wandler mit $N$ Bits ergibt sich somit ein Quantisierungsschritt zu

$q\; =\; \backslash frac\{2A\}\{2^N\}$

Der Quantisierungsfehler pro Schritt wird als weitere Vorgabe als gleichmässig verteilt über das abgedeckte Intervall -q/2 bis +q/2 angenommen. Damit ist die Leistungsdichte (Varianz) zufolge der Quantisierung gegeben als:

$\backslash sigma^2=\backslash int\backslash limits\_\{-q/2\}^\{q/2\}e^2P(e)de\; =\; \backslash frac\{1\}\{q\}\backslash int\backslash limits\_\{-q/2\}^\{q/2\}e^2de\; =\; \backslash frac\{q^2\}\{12\}$

Sigma drückt quasi das 'Störsignal' in der Quantisierung aus, welches das Rauschen verursacht. Das sinusförmige Eingangssignal mit Vollpegel hat eine mittlere Leistung von:

$P\_A\; =\; \backslash frac\{A^2\}\{2\}$

Durch in Relation setzen dieser beiden Werte läßt sich für genau diesen Fall das Quantisierungsrauschen nach obiger Beziehung und nach Eliminierung von $p$ aus den Gleichungen berechnen zu der bekannten Gleichung:

$SNR\; =\; 10\; log(\backslash frac\{P\_A\}\{\backslash sigma^2\})\; =\; 10\; log(\backslash frac\{A^2/2\}\{q^2/12\})\; =\; 10\; log(\backslash frac\{3\; *\; 2^\{2N\}\}\{2\})\; =\; N\; *\; 6.02dB\; +\; 1.76dB$

Unter den oben getroffenen Voraussetzungen hat damit beispielsweise ein A/D-Wandler mit 16 Bit Auflösung ein SNR von 98,1 dB unter Vollpegel und bei einem sinusförmigen Eingangssignal. Wesentlich ist, dass jener Wert bzw. die Berechnung nur unter den oben genannten Voraussetzungen gültige Ergebnisse liefert und diese Gleichung kein allgemeingültiges Kochrezept zum Berechnen des Quantisierungsrauschen in allen Fällen darstellt. Bei A/D-Wandlern mit nichtlinearer Kennlinie, wie sie beispielsweise bei dem A-law-Verfahren im Bereich der Telekommunikation eingesetzt werden, gilt aufgrund der nichtlinearen Übertragungsfunktion die hergeleitete Beziehung des Quantisierungsrauschen nicht.

Quantisierungsrauschen bei nicht sinusförmigen Signalen

Sollen das Quantisierungsrauschen nicht nur bei sinusförmigen Signalen ermittelt werden, lässt sich für beliebige, stationäre Signale und bei linearen A/D-Wandler auch folgende, verallgemeinerte Berechnung für das Quantisierungsrauschen bei Vollpegel ermitteln:

$SNR\; =\; N\; *\; 6.02dB\; +\; 4.77dB\; -\; 20\; *\; log(\backslash frac\{A\_\{peak\}\}\{A\_\{eff\}\})$

Dabei stellt $A\_\{peak\}$ den Spitzenwert des Nutzsignals und $A\_\{eff\}$ den Effektivwert dar. Bei einem sinusförmigen Signal ist die Beziehung zwischen Spitzenwert und Effektiwert $A\_\{peak\}/A\_\{eff\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}$ was nach Einsetzen auf obige Gleichung führt.

Bei typischen Audiosignalen wie Musik und Sprache kann mit einem Faktor von rund 4 als Relation zwischen Spitzenwert und Effektivwert in guter Näherung gerechnet werden. Damit ist bei sonst gleichen Parametern der Signal-Rausch-Abstand zufolge des Quantisierungsrauschen bei einem Sprachsignal um ca. 9 dB schlechter als wie bei einem rein sinusförmigen Signal.

Literatur

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• Oppenheim, Zeitdiskrete Signalverarbeitung, Oldenbourg Verlag, ISBN 3-486-24145-1

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