Einer der auffälligsten Unterschiede der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik ist die Tatsache, dass bestimmte Größen nur diskrete Werte annehmen können. Diese Werte kann man durch Formeln beschreiben, in die als einzige Veränderliche ganze Zahlen eingehen. Diese Zahlen nennt man Quantenzahlen. Zu jedem quantisierten Freiheitsgrad gehört genau eine Quantenzahl.

Quantenzahlen widersprechen aufgrund ihres quantenmechanischen Ursprungs oftmals der Anschauung. Sie besitzen in der Regel kein klassisches Analogon.

Ein Beispiel ist der Spin, dessen Quantenzahl nicht immer eine ganze Zahl, sondern ein Vielfaches von ½ ist, also insbesondere auch halbzahlig (eine ganze Zahl + ½) sein kann. Da der Spin in den Gesamtdrehimpuls eingeht, kann dieser, im Gegensatz zum Bahndrehimpuls, auch halbzahlig sein; allerdings kann er nur in ganzzahligen Schritten geändert werden. Daher bleibt der Drehimpuls eines Objekts stets ganz- oder halbzahlig (es sei denn, es werden Teilchen hinzugefügt oder entfernt). Die Ganzzahligkeit des Gesamtdrehimpulses entscheidet, ob sich das System wie ein Fermion oder wie ein Boson verhält. Spin-½-Teilchen werden immer paarweise erzeugt. Dadurch ist die Änderung der Spinquantenzahl bei der Erzeugung wieder ganzzahlig.

Beispiel: Die Energiezustände des gebundenen Elektrons im Wasserstoffatom werden durch vier Quantenzahlen beschrieben:

• n - Hauptquantenzahl (beliebige natürliche Zahl größer als 0)

Bezeichnet Energieniveaus

$E\_n\; =\; -\backslash frac\{E\_\backslash textrm\{Rydberg\}\}\{n^2\}$

• l - Nebenquantenzahl

$l\; \backslash in\; \backslash \{0,1,2,\backslash ldots,n-1\backslash \}$

Kennzeichnet Bahndrehimpuls des Elektrons, gibt die Form des Orbitals in einem Atom an

$\{\backslash mathbf\; L\}^2\; |l,l\_3\backslash rangle\; =\; \backslash hbar^2\; l(l+1)\; |l,l\_3\backslash rangle$

Dabei bezeichnet $|l,l\_3\backslash rangle$ einen Zustandsvektor im quantenmechanischen Hilbertraum. Im Falle von Drehimpuls $\backslash hat\{L\}=\backslash hat\{x\}\; \backslash times\; \backslash hat\{p\}$ ist $|l,l\_3\backslash rangle$ durch die Kugelflächenfunktionen $Y\_\{lm\}(\backslash phi,\backslash theta)$ gegeben.

• m - magnetische Quantenzahl, Magnetquantenzahl oder azimuthale Quantenzahl

Gibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpuls (d.h. des Orbitals) $\{\backslash mathbf\; L\}$ an:

$\{\backslash mathbf\; L\}\; =\; (L\_x,L\_y,L\_z)^T$ mit $L\_z\; |l,l\_3\backslash rangle\; =\; m\backslash hbar\; |l,l\_3\backslash rangle$

Dadurch ergibt sich auch der mögliche Wertebereich (die z-Komponente kann betragsmäßig nicht größer werden als $|\{\backslash mathbf\; L\}|$):

$m\; \backslash in\; \backslash \{-l,\backslash ldots,l\backslash \}$

Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung (normaler Zeeman-Effekt) von ihr abhängt (bei $m=0$ keine z-Komponente, d.h. keine zusätzliche Energie; bei $m=l$ nur z-Komponente, d.h. maximale zusätzliche Energie).

• s - Spinquantenzahl bei Elektronen beschreibt die Orientierung des Spins des Elektrons, es gibt nur zwei Möglichkeiten für den Spin in z Richtung: $s\_3\; \backslash in\; \backslash left\backslash \{-\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right\backslash \}$

• J - Rotationsquantenzahl (siehe auch: IR-Spektroskopie)

• v - Schwingungsquantenzahl (siehe auch: IR-Spektroskopie)

• K - Beschreibt die Orientierung der Präzession eines Moleküls bei der Rotation um seinen Schwerpunkt (siehe auch: IR-Spektroskopie)

• I - Kernspinquantenzahl bei Atomkernen (siehe auch: NMR-Spektroskopie)

Im Unterschied zum Wasserstoffatom bestehen die Hüllen anderer Atome aus mehreren Elektronen, die sich gegenseitig beeinflussen. Dennoch kann man ihren Zustand oft näherungsweise durch obige Quantenzahlen beschreiben. Da Elektronen Fermionen sind, unterliegen sie dabei dem Pauli-Prinzip: Keine zwei Elektronen dürfen in allen Quantenzahlen übereinstimmen.

Eine sehr große Bedeutung kommt den Quantenzahlen neben der Atomphysik auch in der subatomaren Physik der Teilchenphysik zu. Dort dienen sie zur Kennzeichnung der Kerne und Teilchen sowie zur Beschreibung der Übergänge zwischen ihnen.

Siehe auch: Elektronenkonfiguration und Orbitale

Quantenphysik

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