Als Quadratzahl wird in der Mathematik jede natürliche Zahl x bezeichnet, die das Produkt zweier gleicher, ganzer Zahlen ist, also x = n · n = n² (sprich: n Quadrat). Die Faktoren können auch negativ sein: x = (-n) · (-n) = (-n)².

Umgekehrt ist die Quadratwurzel jeder Quadratzahl eine natürliche Zahl. Die Zahl Null wird üblicherweise nicht als Quadratzahl angesehen.

Beispiele

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• 4 ist eine Quadratzahl, denn 4 = 2 · 2 = 2² (sprich: 2 zum Quadrat).
• 6 ist keine Quadratzahl, denn 6 = 3 · 2 lässt sich nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellen.
• 144 ist eine Quadratzahl, denn 144 = 12 · 12 = 12².
• 10.000 ist eine Quadratzahl, denn 10.000 = 100 · 100 = 100².

Die ersten zwanzig Quadratzahlen sind:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Eigenschaften

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Eine Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl von Teilern.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

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Eine Quadratzahl n² lässt sich als Summe der ersten n natürlichen, ungeraden Zahlen nach der Formel:

$n^2\; =\; \backslash sum^n\_\{i=1\}\; (2i-1)\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; \backslash dots\; +\; (2n-1)$

bilden. Außerdem ergibt die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen eine Quadratzahl, wobei gilt:

$n^2\; =\; \backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}$

Außerdem gilt:

$n^2\; =\; (n-a)(n+a)\; +\; a^2\backslash$

Diese Eigenschaft trifft u.a., mit a = 1, auch auf die Primzahlzwillinge zu.

Jede Pyramidenzahl lässt sich als Summe der ersten n Quadratzahlen bilden:

$\backslash sum^n\_\{i=1\}\; i^2\; =\; 1^2\; +\; 2^2\; +\; 3^2\; +\; 4^2\; +\; \backslash dots\; +\; n^2\; =\; \backslash frac\{n(n+1)(2n+1)\}\{6\}$

Trick zum Berechnen von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf

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Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 45 die 4) mit ihrem Nachfolger (hier 4+1 = 5) und setzt an das Produkt (hier 4·5 = 20) die Ziffern 2 und 5 dran (Endergebnis 2025).

$\backslash underline\{1\}5^2\; =\; \backslash underline\{2\}25$

$\backslash underline\{2\}5^2\; =\; \backslash underline\{6\}25$

$\backslash underline\{3\}5^2\; =\; \backslash underline\{12\}25$

$\backslash underline\{4\}5^2\; =\backslash cdot\; (4+1)25\; =\; \backslash underline\{20\}25$

$=\; [a\; \backslash cdot\; (a+1)25$

Beweis: Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als $10\; \backslash cdot\; k+5,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$. Ihr Quadrat ist somit $(10\; \backslash cdot\; k+5)^2\; =\; 100k^2+100k+25\; =\; 100\; \backslash cdot\; k(k+1)+25$.

Siehe auch: Potenz (Mathematik), Vier-Quadrate-Satz, quadratfreie Zahl, zentrierte Quadratzahl, Rechteckzahl

Arithmetik

Kvadrattal | Square number | Nombre carré | מספר ריבועי | Numero quadrato | 平方数 | 사각수 | Kwadrat (algebra) | Квадрат (число) | Kvadratno število | வர்க்கம் | 平方数