Unter der Quadratwurzel einer Zahl $x$ versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $x$ ist. Das Symbol für die Quadratwurzel aus $x$ ist $\backslash sqrt\{x\}$. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Rechenausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Möglich wäre auch die ausführlichere Schreibweise $\backslash sqrt*\{x\}$. Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken. $x^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$ ist gleichwertig zu $\backslash sqrt\{x\}$.

Beispiel: Wegen $3^2\; =\; 3\; \backslash cdot\; 3\; =\; 9$ gilt $\backslash sqrt\{9\}\; =\; 9^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =\; 3$.

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl $\backslash sqrt\{2\}$ keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2).

• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen $(-3)^2\; =\; (-3)\; \backslash cdot\; (-3)\; =\; 9$ auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort "radix" (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel $\backslash sqrt\{\}(b^2-4ac)$ anstelle von $\backslash sqrt\{b^2-4ac\}$.

Im Englischen wird die Quadratwurzel als "square root" bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

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Definition: Die Quadratwurzel $\backslash sqrt\{x\}$ einer nicht-negativen reellen Zahl $x$ ist diejenige nicht-negative reelle Zahl $r$, deren Quadrat $r^2\; =\; r\; \backslash cdot\; r$ gleich $x$ ist.

Das oben erwähnte Problem, dass $\backslash sqrt\{x\}$ nicht definiert sein könnte, tritt im Bereich der reellen Zahlen für $x\; \backslash ge\; 0$ nicht auf. Auch die Eindeutigkeit ist gewährleistet, da negative Zahlen (z.B. -3) ausgeschlossen wurden.

Praktische Bestimmung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

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Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, die sich durch einen nicht-periodisch unendlichen Dezimalbruch ausdrücken lässt. Es geht also oft nur darum, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu finden. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.

• Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.

Beispiel (Näherungswert für $\backslash sqrt\{2\}$):
Aus und $2^2\; =\; 4\; >\; 2$ folgt, dass $\backslash sqrt\{2\}$ zwischen 1 und 2 liegen muss.
Daher probiert man $1\{,\}1^2$, $1\{,\}2^2$ usw. durch.
Aus und $1\{,\}5^2\; =\; 2\{,\}25\; >\; 2$ erkennt man, dass $\backslash sqrt\{2\}$ zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss.
Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit: $\backslash sqrt\{2\}\; =\; 1\{,\}41421356\backslash ldots$

• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird insbesondere von Taschenrechnern verwendet, da es schnell konvergiert.

• Die Taylorreihen-Entwicklung von $\backslash sqrt\{x\}$ mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Reihe konvergiert für punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

$\backslash sqrt\{x+1\}=1\; +$

\sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! \; (n-1)! \; 2^{2n-1} }x^n

$=\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}x\; -\; \backslash frac\{1\}\{8\}x^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{16\}\; x^3\; -\; \backslash frac\{5\}\{128\}\; x^4\; +\; \backslash dots$

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

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Für eine komplexe Zahl $z$ gibt es keine sinnvolle Möglichkeit, die Eindeutigkeit von $\backslash sqrt\{z\}$ zu erzwingen. Man kann also für $z\; \backslash ne\; 0$ nur von den beiden Quadratwurzeln der Zahl $z$ sprechen. Diese ergeben sich aus

$\backslash sqrt\{z\}\; =\; \backslash sqrt\{x+iy\}\; =\; \backslash pm\; \backslash left($

\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} + i \cdot \mathrm{sign}(y) \cdot \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}} \right) Dabei steht sign($y$) für das Vorzeichen von $y$ und

$\backslash left|\; z\; \backslash right|$

= \left| x+iy \right| = \sqrt{x^2 + y^2} für den Betrag von $z$.

Ist $z$ in Polarkoordinaten gegeben, dann hat die Quadratwurzel die Darstellung

$$

\sqrt{z} = \sqrt{|z| e^{i\left({\rm arg}(z)+n\cdot 2\pi\right)}} = \sqrt{|z|} e^{i\left( {\rm arg}(z)/2+n\cdot \pi\right)}, wobei $n$ die Werte 0 oder 1 annehmen kann.

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Bei der Lösung mit $n\; =\; 0$ wird das Argument (in der komplexen Zahlenebene also der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der reellen Achse; sein Tangens ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) halbiert. Die andere Lösung (für $n\; =\; 1$) ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung am Ursprung.

Beispiel (Quadratwurzeln aus $z\; =\; -1+i\backslash sqrt\{3\}$):

Zunächst werden Betrag und Argument des Radikanden ermittelt.

$r\; =\; |-1+i\backslash sqrt\{3\}|\; =\; \backslash sqrt\{(-1)^2\; +\; (\backslash sqrt\{3\})^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1+3\}\; =\; \backslash sqrt\{4\}\; =\; 2$

$\backslash tan\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{-1\}\; =\; -\backslash sqrt\{3\}$

$\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash pi$ (2. Quadrant!)

Eine der Wurzeln ergibt sich aus

$w\_1\; =\; \backslash sqrt\{r\}\; \backslash cdot\; e^\{i\; \backslash frac\{\backslash varphi\}\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; e^\{\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash pi\}$

$=\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash cos(\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash pi)\; +\; i\; \backslash sin(\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash pi)\; \backslash right)$

= \sqrt{2} \cdot \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3} \right).

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

$w\_2\; =\; -w\_1\; =\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{3\}\; \backslash right)$

Bsp_Quadratwurzel_C.png

Quadratwurzeln modulo n

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Auch im Restklassenring $\backslash mathbb\{Z\}\; /\; n\; \backslash mathbb\{Z\}$ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt $q$ eine Quadratwurzel von $x$, wenn gilt:

$q^2\; \backslash equiv\; x\; \backslash ;\backslash mathrm\{mod\}\backslash ;\; n$

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln.

Um die Quadratwurzeln von $x$ modulo $n$ zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung von $n$:

$n\; =\; p\_1^\{m\_1\}\; \backslash cdot\; p\_2^\{m\_2\}\; \backslash cdots\; p\_\{k\}^\{m\_k\}$

und bestimmt die Lösungen modulo der jeweiligen Primpotenzen $p^m$. Diese Lösungen setzt man schließlich mit dem Chinesischen Restsatz zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen $p$ ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln zu $x$ so:

Um zu testen, ob $x$ überhaupt eine Quadratwurzel in $\backslash mathbb\{Z\}\; /\; p\; \backslash mathbb\{Z\}$ hat, verwendet man das Legendre-Symbol

$\backslash left(\backslash frac\{x\}\{p\}\backslash right)\; \backslash equiv\; x^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\}\backslash mod\; p$

denn es gilt:

$$

\left(\frac{x}{p}\right) = \left\{\begin{matrix} -1 & \mbox{wenn } x \mbox{ kein quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } x \mbox{ und } p \mbox{ nicht teilerfremd sind } \\ 1 & \mbox{wenn } x \mbox{ ein quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ \end{matrix}\right.

Im ersten Falle besitzt $x$ keine Quadratwurzel in Z/pZ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im folgenden an, dass $\backslash left(\backslash frac\{x\}\{p\}\backslash right)\; =\; 1$ ist.

Berechnung für den Fall p = 3 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $\backslash left(\backslash frac\{x\}\{p\}\backslash right)\; =\; 1$, dann sind

$q\; \backslash equiv\; \backslash pm\; x^\{\backslash frac\{p+1\}\{4\}\}\; \backslash mbox\{\; mod\; \}\; p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$.

Berechnung für den Fall p = 1 mod 4

Ist das Legendre-Symbol $(x|p)\; =\; 1$, dann sind

$q\; \backslash equiv\; \backslash pm\; \backslash frac\{x\}\{2r\}\backslash left(W\_\backslash frac\{p-1\}\{4\}\; +\; W\_\backslash frac\{p+3\}\{4\}\; \backslash right)\; \backslash mbox\{\; mod\; \}\; p$

die 2 Quadratwurzeln von $x$ modulo $p$. Hierbei wählt man r dergestalt, dass das Legendre-Symbol

$\backslash left(\backslash frac\{r^2-4x\}\{p\}\backslash right)\; =\; -1$

ist. Dazu einfach verschiedene Werte von r durchprobieren. Die Folge $W\_n$ ist rekursiv definiert:

$$

W_n = \left\{ \begin{matrix} r^2/x-2 & \mbox{ wenn } n = 1 \\ W_{n/2}^2-2 & \mbox{ wenn } n \mbox{ gerade} \\ W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_1 & \mbox{ wenn } n > 1 \mbox{ ungerade} \end{matrix}\right.

Rechenbeispiel für $x=3$ und $p=37$:

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von $x$ gegeben durch

$q\; \backslash equiv\; \backslash pm\; \backslash frac\{x\}\{2r\}\backslash left(W\_9\; +\; W\_\{10\}\; \backslash right)\; \backslash mbox\{\; mod\; \}\; 37$

Für $r$ findet man durch Probieren den Wert $r\; =\; 2$, denn es ist

$$

\left(\frac{r^2-4x}{p}\right) \equiv (r^2-4x)^\frac{p-1}{2} \equiv (-8)^{18} \equiv 36 \equiv -1 \mbox{ mod } 37. Die Werte für $W\_9$ und $W\_\{10\}$ ergeben sich zu

$\backslash begin\{matrix\}$

W_1 &\equiv& r^2/x - 2 &\equiv& 4/3 -2 &\equiv& 24 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\

W_2 &\equiv& W_1^2-2 &\equiv& 24^2-2 &\equiv& 19 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\ W_3 &\equiv& W_1 W_2 - W_1 &\equiv& 24\cdot 19 - 24 &\equiv& 25 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\

W_4 &\equiv& W_2^2-2 &\equiv& 19^2-2 &\equiv& 26 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\ W_5 &\equiv& W_2 W_3 - W_1 &\equiv& 19\cdot 25 - 24 &\equiv& 7 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\

W_9&\equiv& W_4 W_5 - W_1 &\equiv& 26\cdot 7 - 24 &\equiv& 10 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\ W_{10} &\equiv& W_5^2-2 &\equiv& 7^2-2 &\equiv& 10 & \quad\mathrm{mod}\quad 37 \\ \end{matrix}

Einsetzen dieser Werte ergibt

$$

q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_9 + W_{10} \right) \equiv \pm \frac{3}{4}(10 + 10) \equiv \pm 15 \mbox{ mod } 37 das heißt 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Siehe auch

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Schriftliches Wurzelziehen, Babylonisches Wurzelziehen, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2, Wurzel (Mathematik), Modulo, Restklassenring, Wurzel aus 2

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