Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom der elementaren Algebra vom Grad 2 besitzt, also von der Form $x\; \backslash mapsto\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$ mit der Funktionsgleichung $y\; =\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Die Quadratfunktion

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Normalparabel.png

Die einfachste quadratische Funktion ist die Quadratfunktion $x\; \backslash mapsto\; x^2$. Definitionsbereich: $D\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}$
Wertebereich: $W\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}\_0^+$

An der Stelle $x\; =\; 0$ besitzt die Quadratfunktion ihren einzigen Extremwert (Scheitelpunkt): $f(0)=0$

Der Graph der Quadratfunktion heißt Normalparabel. Sie hat im Koordinatenursprung ihren Scheitel und ist symmetrisch zur $y$-Achse.

Die allgemeine quadratische Funktion

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Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist $x\; \backslash mapsto\; a\; x^2\; +\; b\; x\; +\; c$. Ist $a\; =\; 1,\; b\; =\; 0$ und $c\; =\; 0$ so erhält man die Quadratfunktion.

Definitionsbereich: $D\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}$
Wertebereich: $W\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}$

Die Koeffizienten $a,\; b$ und $c$ bestimmen teilweise direkt den Wertebereich und die Form des Graphen.

Parameter a

Wie der Wert von $a$ die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man $b\; =\; 0$ und $c\; =\; 0$ setzt. Man erhält dann eine Normalparabel mit einem Faktor vor $x^2$.

$a\; >\; 0$ ... der Graph ist nach oben geöffnet.

... der Graph ist nach unten geöffnet.

$|a|\; >\; 1$ ... der Graph ist gestreckt, d.h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint.

... der Graph ist gestaucht, d.h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint.

Für $a=-1$ ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der x-Achse gespiegelt.

Quaddratische_Funktion_mit_verschiedenen_a.png

Quaddratische_Funktion_mit_negativen_a.pngQuaddratische_Funktion_mit_a_kleiner_1.png

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Parameter b

Der Wert des Parameters $b$ hat vor allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiebung des Graphen. Allerdings bewirkt $f(x)\; =\; x^2+x$ und $f(x)\; =\; x^2\; +\; 2x$ gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten. Eine Verschiebung des Graphen um eine Einheit nach rechts im Vergleich zur Normalparabel ergibt sich dagegen bei $f(x)\; =\; (x-1)^2\; =\; x^2\; -\; 2x\; +1$.

Parameter c

Eine Veränderung des Parameters c bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Wird $c$ um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird $c$ um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Scheitelpunktsbestimmung

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum oder das absolute Maximum. Ob Minimum oder Maximum hängt allein von $a$ ab. Deshalb stellt die rechnerische Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts eine der wichtigsten Aufgaben dar.

• Diese Koordinaten lassen sich direkt auslesen, wenn der Funktionsterm in Scheitelpunktsform umgeformt wird:

$f(x)\; =\; a\; \backslash cdot\; \backslash left(\; x-x\_s\; \backslash right)^2\; +\; y\_s$.

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten $S(\; x\_s\; |\; y\_s\; )$. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse durch $x\_s$.

• Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der 1.Ableitung der Funktion den x-Wert des Scheitelpunktes (y-Wert durch Einsetzen):

$f(x)=ax^2+bx+c\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}(x)=2ax+b\; \backslash rightarrow\; 2ax+b=0\; \backslash Rightarrow\; x=\backslash frac\{-b\}\{2a\}$

$\backslash Rightarrow\; y=a\backslash left(\backslash frac\{-b\}\{2a\}\backslash right)^2+b\backslash left(\backslash frac\{-b\}\{2a\}\backslash right)+c=$

\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}

Der Scheitelpunkt diesmal ausgedrückt durch die Koeffizienten a,b und c, lässt sich ohne Umformung der quadratischen Gleichung leicht bestimmen.

Beispiel

Bestimmung des Scheitelpunkts aus der Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion

$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; x\; +\; 5$

• Bestimmung des Scheitelpunktes über die Scheitelform der Funktion

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; x\; +\; 5$

Die ursprüngliche Funktionsgleichung

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; x^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; x\; \backslash right)\; +\; 5$

Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert, wobei der Summand +5 ausgeschlossen bleibt

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; x^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; x\; +\; 1\; -\; 1\; \backslash right)\; +\; 5$

Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash left(\; x\; +\; 1\; \backslash right)\; ^2\; -\; 1\; \backslash right)\; +\; 5$

Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich aus einem Teil des Terms ein Quadrat heraus zu ziehen

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; x\; +\; 1\; \backslash right)\; ^2\; -\; 2\; +\; 5$

Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; \backslash left(\; x\; +\; 1\; \backslash right)\; ^2\; +\; 3$

In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt S( -1 / 3 ) ablesen

• Bestimmung des Scheitelpunktes mit Hilfe der Differentialrechnung

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; x\; +\; 5$

Die ursprüngliche Funktionsgleichung

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$y\text{'}\; =\; 4\; \backslash cdot\; x\; +\; 4$

Die 1. Ableitung der Funktion

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$4\; \backslash cdot\; x\; +\; 4\; =\; 0\; \backslash Rightarrow\; x=-1$

Bestimmung der Nullstelle der 1.Ableitung durch Gleichsetzen mit Null

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$y\; =\; 2\; \backslash cdot\; (-1)^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; (-1)\; +\; 5$

x einsetzen in f(x)

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$\backslash Rightarrow\; y=3$

y berechnen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S( -1 / 3 )

Nullstellen der Quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung f(x)=0 , d.h. der quadratischen Gleichung $ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$.

Die quadratische Funktion als Kegelschnitt

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Jede quadratische Funktion (Parabel) lässt sich geometrisch als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel darstellen. Genaueres dazu unter Kegelschnitt.

Brennpunkt einer quadratischen Funktion

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Eine Besonderheit bei quadratischen Funktionen ist, dass immer ein Brennpunkt im Inneren der Parabel vorhanden ist. Dies wird bei einem Parabolspiegel praktisch genutzt. Man kann Fernsehprogramme empfangen oder mit Sonnenenergie möglichst hohe Temperaturen erzeugen. Siehe auch Parabel (Mathematik).

Siehe auch

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• Lineare Funktion

Weblinks

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• Übungen zu Quadratischen Funktionen

Analytische Funktion

Квадратна функция | Kvadratická funkce | Quadratic function | 二次関数 | Kwadratische functie | Funkcja kwadratowa | Kvadratická funkcia