Quadraturamplitudenmodulation

Mit der Quadraturamplitudenmodulation (Abkürzung: QAM, engl: Quadrature Amplitude Modulation) werden in der elektronischen Nachrichtentechnik die Amplitudenmodulation und die Phasenmodulation miteinander kombiniert. Dabei werden zwei voneinander unabhängige Signale derselben Trägerschwingung aufgeprägt. Im Prinzip werden die Signale jeweils per Amplitudenmodulation auf einen Träger gleicher Frequenz, jedoch mit um 90° verschobener Phase, moduliert. Anschließend werden die beiden derart modulierten Trägerschwingungen addiert.

Allerdings ist zur Demodulation – im Unterschied zu z. B. der beim Rundfunk auch benutzten Amplitudenmodulation (AM) – das Trägersignal in gleicher Phase wie beim Sender vonnöten; es muss also normalerweise aus dem Empfangssignal rekonstruierbar sein – was im Allgemeinen bei der Kodierung der übertragenen Signale berücksichtigt werden muss.

In der Fernsehtechnik wird in der Regel die Bezeichnung Quadraturmodulation verwendet.

Anwendung

Die erste allgemein bekannte Anwendung findet sich bei der Übertragung der beiden Farbdifferenzsignale beim analogen Farbfernsehen nach dem NTSC- bzw. (in modifizierter Form) nach dem PAL-Verfahren.

Ihre Hauptanwendung besteht heutzutage jedoch in der Übertragung digitaler Daten über einen analogen, rauschbelasteten Frequenzkanal. Bekanntes Anwendungsbeispiel hierfür ist die DSL-Technologie.

Weitere Anwendungen bzw. genauere Ausführungen folgen am Ende dieses Artikels.

Mathematischer Hintergrund

Zwei Sinus-Kurven, die zueinander um 90° ( $=1/4$ Wellenlänge) phasenverschoben sind (gleichbedeutend einer Sinus- und einer Cosinus-Kurve), werden untereinander gezeichnet. Überall dort, wo eine der Kurven ein Maximum oder Minimum hat, hat die jeweils andere einen Nulldurchgang.
quadraturmodulation_sinus_cosinus.png
Bei einem amplitudenmodulierten Signal lässt sich durch Betrachten der Maxima das ursprüngliche Signal erkennen. Die Nulldurchgänge werden vom Signal nicht beeinflusst.
amplitudenmodulation.png
Durch die Addition von zwei amplitudenmodulierten Signalen, die gemäß (1) um 90° phasenverschoben sind, entsteht eine komplizierter anmutende Kurve, eben das quadraturmodulierte Signal.
Wenn man die ursprüngliche unmodulierte Sinus-Kurve zum Vergleich nimmt und nur an den Stellen, an denen die Sinuskurve Maxima hat, die Werte der quadraturmodulierten Kurve betrachtet, erkennt man genau die Werte der amplitudenmodulierten Sinus-Kurve wieder.
Genauso erkennt man an den Maxima der Kosinus-Kurve die entsprechenden Werte der amplitudenmodulierten Cosinus-Kurve wieder.
Der Grund ist der, dass (wie in (2) erklärt) die jeweils andere Kurve an den betrachteten Stellen überhaupt keinen Einfluss auf die quadraturmodulierte Kurve hat.

Wie in der Einleitung schon angedeutet, ist – im Gegensatz zur einfachen Amplitudenmodulation – wichtig, dass beim Empfang (Demodulation) des quadraturmodulierten Signals der ursprüngliche unmodulierte Träger mit der richtigen Phasenlage zur Verfügung steht. Aus diesem Grunde ist eine präzise Träger-Regenerierung notwendig.

Digitale Modulationstechnik

Der digitale Datenstrom wird in zwei Signale aufgeteilt, die dem Träger aufmoduliert werden. Der Anschaulichkeit halber jedoch betrachten wir zunächst nicht diese beiden Einzelsignale, sondern eine zweidimensionale Repräsentation – ehe wir den beiden Signalen weiter unten als „I“- und „Q“-Signal wiederbegegnen.

qam-4.png der Komponenten "I" und "Q" eines 4-QAM Signals in einem verzerrten und leicht verrauschten Übertragungskanal. Zu erkennen sind die vier Signalpunkte als etwas dichtere „Wölkchen“ sowie die Übergänge zwischen den Punkten als Verbindungslinien.]] Gedanklich wird durch Amplitude und Phase als Polarkoordinaten eine 2-dimensionale Ebene aufgespannt, in der eine Anzahl von Punkten (z. B. vier Punkte im Bild rechts) – eine sog. Konstellation von Signalpunkten – festgelegt wird, welche voneinander einen Mindestabstand und einzeln eine maximale Energie haben. Im Empfänger wird die Lage der Punkte festgestellt und damit die aus Phase und Amplitude gewonnene Information zurückgewonnen.

Die erwähnte "Ebene" ist zwar eine gedankliche Konstruktion; aber man kann diese Ebene, um sie anschaulich zu machen, ganz konkret aufbauen: Als Bildschirm eines Oszilloskops. "Amplitude" ist dann der Abstand eines aus der Mitte heraus ausgelenkten Lichtpunktes zum Mittelpunkt des Bildschirms. Die "Phase" ist die Richtung (als Winkel dargestellt), in die der Lichtpunkt ausgelenkt wird. Ein Quadraturmodulator ist dann eine Schaltung, mit der man den Lichtpunkt auf Punkte lenken kann, denen beispielsweise Buchstaben zugeordnet sind. Die Reihenfolge, mit denen der Lichtpunkt auf die Buchstaben zeigt, kann dann zum Beispiel ein Wort beschreiben. Da der Strahl aber oft auf mehrere Millionen Punkte pro Minute zeigt, braucht man ein elektronisches Gerät, das diesem Signal schnell genug folgen kann. Das ist der Quadraturdemodulator, dem das Signal aber nicht über ein Oszilloskop als Umweg zugeführt wird, sondern direkt.

Ist das Signal Störungen wie Rauschen und Verzerrungen ausgesetzt, kann es im Empfänger zu fehlerhaften Dekodierungen kommen. (Der Lichtpunkt trifft dann im Raster auf dem Bildschirm die Punkte nicht mehr genau. Bei Bildschirmen, die ein bisschen nachleuchten, entsteht dann anstelle des Punktes eine kleine "Wolke".) Deswegen wird die Quadraturamplitudenmodulation häufig mit Verfahren kombiniert, mit denen sich Fehler erkennen und teilweise sogar korrigieren lassen.

Abgetastet wird das Signal mit einer zur Bandbreite reziproken Taktfrequenz. Man kann so pro Zeitintervall einen Signalpunkt übertragen.

„I“ und „Q“

Bei der Quadraturamplitudenmodulation werden von einem gemeinsamen Generator zwei Sinusschwingungen erzeugt: „Inphase“ und „Quadratur“, oder kurz: „I“ und „Q“. Beide Signale haben die gleiche Frequenz. Der Unterschied zwischen beiden Signalen besteht darin, dass „Q“ gegenüber „I“ in der Phase um 90° verschoben ist; daher spricht man auch von Sinus- und Cosinusschwingung.

Da ihnen Informationen aufmoduliert werden, nennt man die beiden Schwingungen Träger, und die gemeinsame Frequenz ist die Trägerfrequenz. Beide Trägersschwingungen durchlaufen jeweils einen Amplitudenmodulator.

Dabei ist zu beachten, dass die Amplitude von Sinus- und Cosinusschwingung bei der Demodulation unanbhängig wiedergewonnen werden können. (Wozu die Phasenlage des Trägers bekannt sein muss.) Man sagt auch, die beiden Schwingungen seien orthogonal. Gedanklich kann man sich die Amplituden der beiden Schwingungen auch als kartesische Koordinaten in der oben angedeuteten Ebene vorstellen, auch „I“- und „Q“-Koordinate genannt.

In der einfachsten Implementierung von QAM gilt:

Bei 4-QAM (QPSK, Quadrature Phase Shift Keying) kann jeder Träger zur Darstellung von einem Bit (2 Stufen) mit den Faktoren -1 und 1 multipliziert werden.
Bei 16-QAM kann jeder Träger zur Darstellung von 2 Bits (4 Stufen) mit den Faktoren -3, -1, 1 und 3 multipliziert werden.
Bei 32-QAM kann jeder Träger zur Darstellung von 6 Stufen mit den Faktoren -5, -3, -1, 1, 3 und 5 multipliziert werden.
Bei 64-QAM kann jeder Träger zur Darstellung von 4 Bits (8 Stufen) mit den Faktoren -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5 und 7 multipliziert werden.
usw.

Nach der Amplitudenmodulation werden die beiden modulierten Träger addiert und in den technisch notwendigen Arbeitsbereich skaliert. Diese skalierte Summe wird dann zur Sendestrecke weitergeleitet. Weil der eine Träger gegenüber dem anderen Träger um 90° verschoben ist, entsteht durch die Addition der beiden Träger ein als Vektor oder "Zeiger" darstellbares Signal. Abhängig von den gewählten Multiplikationsfaktoren ist dabei die Länge (Amplitude) und der Winkel (Phase) dieses Vektors einstellbar. Man kann den Vektor damit auf verschiedene Punkte zeigen lassen und auf diese Art und Weise Daten übertragen.

Eine weitere in der Praxis oft verwendete Art der Beschreibung digital modulierter Signale erfolgt durch komplexe Zahlen. Die oben beschriebene Ebene ist dann die Ebene der komplexen Zahlen. Diese kann, wie bei der Vektorbeschreibung erläutert, mit einer Sinus- (I-Phase) und einer Cosinus-Funktion beschrieben werden. Es entsteht ein komplexer Zeiger $s$ , der wie folgt beschrieben werden kann:

s=d\cdot e^{j\omega}

Der Unterschied dieser Art der Beschreibung zu den Vorangegangenen ist, dass man nur von einem komplexen Träger ausgeht ( $e^{j\omega}$ ). Auf den Realteil dieses Trägers wird der Realteil des Sendesymbols $d=a+jb$ aufmoduliert (In-Phase) und auf den Imäginärteil der Imaginärteil des Sendesymbols (Quadratur-Phase).

Konstellationen

Kennzeichnend für QAM ist, dass die Punkte in einem gedachten Quadrat angeordnet sind. Die Anordnung wird "Konstellation" genannt.

Bei 4-QAM sind das 4 Punkte (2 Bits),
Bei 8-QAM sind 8 Punkte möglich, die aber nicht gut in ein Quadrat passen (Alternative: 8-PSK mit 8 Punkten auf einem Kreis; Multiplikationsfaktoren für die beiden Multiplikatoren in "I" und "Q" z.B.: 0 und 2, √2 und √2, 2 und 0, √2 und -√2, 0 und -2, -√2 und -√2, -2 und 0, -√2 und √2),
bei 16-QAM sind das 16 Punkte (4 Bits),
bei 32-QAM gibt es 32 Punkte (5 Bits; technisch wären 36 Punkte möglich, aber um 32 nicht zu überschreiten, werden die Eckpunkte des Quadrats nicht benutzt),
bei 64-QAM stehen 64 Punkte (6 Bits) zur Verfügung,
bei 128-QAM sind es 128 Punkte (7 Bits; technisch wären 144 Punkte möglich, aber um 128 nicht zu überschreiten, werden an den Ecken des Quadrats jeweils 4 Punkte nicht benutzt),
bei 256-QAM gibt es 256 Punkte (8 Bits; beispielsweise im Kabel bei DVB-C ist diese Auflösung oft schon nicht mehr erreichbar),
bei 512-QAM und darüber ist die Störanfälligkeit schon so hoch, dass diese Konstellationen nur selten eingesetzt werden.

Codierung von Symbolen

Die Codierung realisiert die Umsetzung (mapping) des binären Datenstroms auf die Signalebene. Hierfür werden für eine M-QAM je $\log_2(M)$ -Bit pro QAM-Symbol verwendet.

Bild:Konstellationsdiagramm4QAM.png|Konstellationsdiagramm 4-QAM (entspricht exakt dem Konstellations- diagramm der QPSK) Bild:Konstellationsdiagramm16QAM.png|Konstellationsdiagramm 16-QAM

Die binäre Codierung der Sendesymbole erfolgt, wie in den Abbildungen dargestellt, mit einer Gray-Codierung (setzt Verwendung einer quadratischen Konstellation, also $M = 2^{2n}$ , voraus).

Um den Vorteil dieser Codierung zu verstehen, muss man betrachten, wie Fehler bei der Übertragung entstehen. Das Signal wird bei der Übertragung durch Rauschen überlagert. Dies führt zu der oben beschrieben Streuung der Signalpunkte. Für übliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Rauschens (z. B. Gauß-Verteilung) ist es am wahrscheinlichsten, daß der Signalpunkt in die Nähe eines direkt benachbarten Signalpunkt verschoben wird und somit als solcher erkannt wird. Ist das Nachbarsymbol nur in einem Bit verschieden – wie bei einer Gray-Codierung der Fall –, so wird die Bitfehlerrate minimiert.

Auswahl der Konstellation

Die Zahl der Punkte ist durch die Störungen begrenzt, die für den Übertragungskanal erwartet werden. 4-QAM ist ziemlich "robust". Man sieht in der Abbildung, dass sich die Punkte zwar aufweiten, sich aber noch nicht überlappen. Bei 32-QAM würden in der abgebildeten Störsituation schon Fehler auftreten. In gewissen Grenzen und für den Preis einer geringeren Netto-Datenrate kann man solche Fehler durch Vorwärtsfehlerkorrektur beseitigen. Darum wird QAM oft zusammen mit entsprechenden Fehlerkorrekturverfahren eingesetzt.

Analoge Modulation

Wie in der Einleitung schon angedeutet, gibt es QAM auch als analoge Modulation. Neben dem Einsatz dieses Verfahrens bei der PAL-Codierung wird die Quadraturamplitudenmodulation auch beim AM-Stereo-Verfahren verwendet.

Anwendung in der Fernsehtechnik

Beim Farbfernsehen müssen zum Helligkeits-Signal des Schwarzweiß-Fernsehens noch weitere Signale mit der Farbinformation übertragen werden (Farbartsignal F). Diese werden quadraturmoduliert und an geeigneter Stelle innerhalb des Frequenzspektrums des Schwarzweiß-Signals übertragen (siehe NTSC bzw. PAL). Um den bei der Quadraturamplitudenmodulation so wichtigen Träger im Empfänger rekonstruieren zu können, wird er als sogenannter Burst in den wenigen Mikrosekunden dauernden Pausen zwischen den einzelnen Bildzeilen (horizontaler Strahlrücklauf) kurz nach dem Zeilensynchronimpuls übertragen. Dabei wird ein Oszillator im NTSC- bzw. PAL-Demodulator des Fernsehempfängers synchronisiert, der eine „Kopie“ des Trägersignals erzeugt, die dann auch während der Bildzeilen für die Demodulation zur Verfügung steht.

Siehe auch

Nachrichtentechnik | Funktechnik

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