Punkt (Geometrie)

Der Punkt stellt das grundlegende Element der axiomatischen Geometrie dar. Ein solcher Punkt wird als ein nulldimensionales Objekt ohne jede Ausdehnung verstanden, über das nichts weiter ausgesagt werden kann. Sämtliche anderen geometrischen Objekte lassen sich als Mengen von Punkten definieren. So stellt etwa eine Gerade in der euklidischen Geometrie eine eindimensionale Punktmenge, eine Ebene eine zweidimensionale Punktmenge usw. dar. Die Menge aller Punkte ist also gerade die Menge derjenigen Objekte, aus denen sich andere Objekte in der axiomatisch festgelegten Weise herleiten lassen. Umgekehrt werden alle Objekte, die keine Punkte sind, über Punkte oder aus Punkten konstruierte Objekte definiert. Diese zyklische Definition lässt sich innerhalb einer Geometrie nicht auflösen.

Der griechische Philosoph Euklid definierte um 300 v. Chr. den Punkt in seinen Elementen als etwas, das keine Teile hat. Mit dieser Definition gelang es ihm in gewisser Weise, die beschriebene zyklische Definition zu verankern. Für die euklidische Geometrie wäre diese Festlegung jedoch keineswegs nötig - sie leistet der Anschauung lediglich eine Hilfestellung. Die Formulierung lässt sich auch im Lichte der damaligen philosophischen Kontroverse zwischen Atomismus und Plenismus verstehen, wobei Euklid hier für die Mathematik eine atomistische Position bezieht.

Von Oskar Perron stammt die Bemerkung: "Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt." (Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene, Stuttgart 1962)

In der projektiven Geometrie wird der Begriff Punkt erweitert durch den Fernpunkt.

Als Punkt bezeichnet man auch in anderen Bereichen der Mathematik die Elemente gewisser mathematischer Strukturen, siehe dazu die folgenden Artikel:

Häufungspunkt, Isolierter Punkt, Berührungspunkt

Literatur

Manon Baukhage: Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her - so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt; in: "P.M. - Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58-65.

Geometrie

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