Projektion ist in der Geometrie eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raumes auf Punkte einer gegebenen Ebene abbildet. Eine Projektion dient häufig dazu, Schrägbilder von geometrischen Körpern herzustellen. Man unterscheidet zwei Grundtypen, die Parallelprojektion und die Zentralprojektion.

Parallelprojektion

Bei der Parallelprojektion sind eine Projektionsebene und eine Projektionsrichtung gegeben. Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man dadurch, dass man die Parallele zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt.

ParallelprojektionWuerfel.png

Geraden werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind - soweit definiert - ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt nur dann erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft; in allen anderen Fällen erscheinen Strecken in der Projektion verkürzt. Auch die Größe eines projizierten Winkels stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird ein Rechteck im Allgemeinen auf ein Parallelogramm abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt für Kreise, die im Allgemeinen in Ellipsen übergehen.

Ein wichtiger Spezialfall ist die orthogonale (senkrechte) Parallelprojektion. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass Projektionsrichtung und Projektionsebene zueinander senkrecht sind. Die orthogonale Parallelprojektion entspricht einer Fotografie mit einem starken Teleobjektiv.

Zentralprojektion (Fluchtpunktverfahren)

Wuerfel_projektion.jpg Das Verfahren, welches in der Praxis zur Geltung kommt, macht sich zu Nutze, wie unser Gesichtssinn arbeitet: Ein Punkt in der Ferne wird fixiert, und die dreidimensionale Wirkung ergibt sich dadurch, dass weiter entfernte Punkte in ihren X- und Y- Koordinatenanteilen näher an diesen Fluchtpunkt heranrücken. Das bedeutet: Bei der Darstellung dreidimensionaler Objekte beispielsweise auf einem Computerbildschirm müssen erst die Koordinaten absolut definiert werden, und dann mittels Fluchtlinien auf der Ebene dargestellt werden.

Berechnung

Die Berechnung der Verschiebung um X- und Y-Koordinaten entlang der Fluchtlinien findet mithilfe der Strahlensätze statt.
Es sei P der Punkt in dreidimensionalen Koordinatenrecords ($P\_x$, $P\_y$ und $P\_z$), $Q$ der Fluchtpunkt desselben Datentyps und $R\_x$ bzw. $R\_y$ die neuen, berechneten Koordinaten im zweidimensionalen X-Y-System. Dann ist

$R\_x\; =\; \backslash frac\{(P\_x\; -\; Q\_x)\; \backslash cdot\; Q\_z\}\{Q\_z\; -\; P\_z\}\; +\; Q\_x$

und dementsprechend

$R\_y\; =\; \backslash frac\{(P\_y\; -\; Q\_y)\; \backslash cdot\; Q\_z\}\{Q\_z\; -\; P\_z\}\; +\; Q\_y$.

Anwendungen

Als fortlaufende Parallelprojektion seit 1822 für den Bildkartentypus des Rheinpanorama in Gebrauch.

Siehe auch

• Orthografische Azimutalprojektion
• Kartenprojektion

Geometrie

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