In der Mathematik bezeichnet der Begriff Produkt das Ergebnis bestimmter Faktoren. Das bekannteste Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation von Zahlen.

Symbolik

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Analog zum Summen-Symbol ($\backslash sum$) gibt es in der Mathematik das Produkt-Symbol $\backslash prod$ (Großes Pi), um ein Produkt implizit (unberechnet) als Ergebnis einer Iteration (eines Durchlaufes) über mehrere Faktoren darzustellen.

$\backslash prod\_\{k=1\}^n\; a\_k$ liest man als „Produkt über a_k für k von 1 bis n“, der Ausdruck bedeutet: a₁·a₂·...·a_n

Inneres Produkt

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In Prähilberträumen wird mit Skalarprodukt oder inneres Produkt ein eng mit dem Winkel zusammenhängender Begriff bezeichnet.

Inneres Produkt oder Produkt erster Art ist auch eine ältere Bezeichnung für die Schnittmenge in der Mengenlehre.

Äußeres Produkt

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Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt genannt) ist neben dem Skalarprodukt (inneres Produkt) das zweite wichtige Produkt von zwei Vektoren.

Produkt der Kategorientheorie

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In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten $\backslash \{\; A\_i\; \backslash ,|\backslash ,\; i\backslash in\; I\; \backslash \}$ ein Paar $(P,\; \backslash \{\; \backslash mbox\{pr\}\_i\; \backslash ,|\backslash ,\; i\backslash in\; I\; \backslash \})$, wobei

• P ein Objekt ist,
• $\backslash mbox\{pr\}\_i$ ein Morphismus (genannt Projektion) von P nach $A\_i$ ist (für jedes i aus I),
• und für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen $f\_i$ von C nach $A\_i$ es genau einen Morphismus f von C nach P gibt mit $f\_i\; =\; \backslash mbox\{pr\}\_i\; \backslash circ\; f$.

Die letzte Bedingung sichert die 'Eindeutigkeit' der Projektionen. (Dieses Produkt hat eine so genannte universelle Eigenschaft.)

Diese sehr allgemeine Definition enthält viele andere in der Mathematik auftretende Definitionen des Begriffs Produkt:

1. In der Kategorie Set der Mengen entspricht obige Definition dem kartesischen Produkt.
2. In der Kategorie Top der topologischen Räume mit stetigen Funktionen entspricht obige Definition der des topologischen Produkts: das kartesische Produkt, versehen mit der gröbsten Topologie, bei der alle Projektionen pr(i) noch stetig sind.
3. In der Kategorie Grp der Gruppen, und anderen Kategorien algebraischer Strukturen wie der Kategorie der Ringe oder der der Vektorräume entspricht obige Definition dem direkten Produkt: das kartesische Produkt, versehen mit komponentenweisen Verknüpfungen.

Literatur

• K. Meyberg: Algebra, Teil 2, Hanser Verlag, München, 1976, ISBN 3-446-12172-2, siehe Kapitel 10: Kategorien

Kategorientheorie