Das Prinzip der Zweiwertigkeit, auch Bivalenzprinzip genannt, ist die Eigenschaft einer Logik, dass semantisch jeder Formel genau einer von zwei Wahrheitswerten zugewiesen wird. Häufig werden diese Wahrheitswerte als wahr und falsch bezeichnet.

Logiken, für die das Prinzip der Zweiwertigkeit erfüllt ist, nennt man auch zweiwertige Logiken. Ist das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht erfüllt, spricht man von mehrwertiger Logik.

Das Prinzip der Zweiwertigkeit ist zu unterscheiden von dem auch innerhalb mehrerer mehrwertigen Logiken gültigen Satz vom ausgeschlossenen Dritten, der besagt, dass sich P ∨ ¬P innerhalb des logischen Systems bzw. seines Kalküls syntaktisch ableiten lässt. __TOC__

Formale Definition

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Wenn man für einen Kalkül eine formale Semantik aufstellt, dann verwendet man für die Zuordnung von Wahrheitswerten zu Formeln eine Funktion, die Bewertungsfunktion (auch Denotationsfunktion oder Wahrheitswertefunktion) genannt wird. Für die Bewertungsfunktion wird oft das Zeichen $*]$ verwendet; die zu bewertende Formel wird dabei zwischen die eckigen Klammern geschrieben. Da die Bewertungsfunktion alle wohlgeformten Formeln des Kalküls bewerten muss, ist ihr Definitionsbereich ebendiese Menge der wohlgeformten Formeln des Kalküls; das kann man formal wie folgt ausdrücken:

$\backslash mathrm\{Dom\}*]\; =\; M$

Dabei ist M die Menge der wohlgeformten Formeln des Kalküls; der Ausdruck "Dom" ist die Abkürzung für domain, engl. Definitionsbereich.

Da die Bewertungsfunktion für jede Formel einen Wahrheitswert liefern soll, muss ihr Wertebereich die Menge der Wahrheitswerte sein:

$\backslash mathrm\{Ran\}*]\; =\; \backslash \{\backslash mathit\{wahr\},\backslash mathit\{falsch\}\backslash \}$

Der Ausdruck "Ran" ist die Abkürzung für "range", engl. Wertebereich

Da " target="_blank" >eine Funktion im mathematischen Sinn, d.h. eine Abbildung ist, ist sichergestellt, dass sie für keine Formel mehr als einen Wahrheitswert liefert. Da der Definitionsbereich von die Menge aller wohlgeformten Sätze ist, ist obendrein sichergestellt, dass die Bewertungsfunktion für jeden Satz einen Wahrheitswert liefert. Das Prinzip der Zweiwertigkeit lässt sich durch Kombination dieser beiden Feststellungen daher formal wie folgt formulieren:

Wenn für eine wohlgeformte Formel P (d.h. P ∈ M) die zweiwertige Bewertungsfunktion den Wert wahr liefert, d.h. wenn für jede Bewertung der in M vorkommenden Atome $P=\; \backslash mathit\{wahr\}$ ist, dann schreibt man auch

$\backslash vDash\; P$

Man sagt dann: P ist eine Tautologie.

Abgrenzung

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Das Bivalenzprinzip ist ein rein innerlogisches, deskriptives (beschreibendes) Prinzip, eine Eigenschaft logischer Systeme. Einige logische Systeme haben diese Eigenschaft, z.B. die klassische Logik: Sie sind zweiwertig. Andere Systeme haben diese Eigenschaft nicht: Sie sind mehrwertig. Das Bivalenzprinzip ist kein normatives Prinzip, also keine Forderung, dass logische Systeme zweiwertig sein müssen.

Oft wird das Bivalenzprinzip - wie viele innerlogische Sachverhalte - sogar mit außerlogischen Fragestellungen vermischt, vor allem mit metaphysischen oder mit sprachwissenschaftlichen Fragen. Ein Beispiel wäre die metaphysische Frage, ob die Wirklichkeit adäquat durch zweiwertige Logik beschrieben werden kann, ob also sozusagen ein "metaphysisches Bivalenzprinzip" gelte. Solche Fragen sind Gegenstand anderer Disziplinen wie Philosophie, Wissenschaftstheorie oder Sprachwissenschaft und werden innerhalb der Logik nicht beantwortet.

Siehe auch: Klassische Logik | Logik

Principle of bivalence | Lógica bivalente | Principe de bivalence | Tvígildislögmálið | Principio di bivalenza | Двоичная логика | Bivalent logik | 二值原理