Prämisse (v. lat.: praemissum = das Vorausgeschickte) heißt in der Logik eine Voraussetzung oder Annahme. Sie ist eine Aussage, aus der eine logische Schlussfolgerung gezogen wird.

Beispiel: Aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist sterblich". Die beiden erstgenannten Aussagen sind dabei Prämissen. Die letztgenannte Aussage ist die Konklusion oder Schlussfolgerung.

Unterscheidung zwischen zwei Bedeutungen von Prämisse

Man sollte zwischen dem Gebrauch des Wortes "Prämisse" in der Umgangssprache und in der Logik unterscheiden. Im umgangssprachlichen Sinn sind die Prämissen, von denen jemand ausgeht, oft Sätze, die dieser Jemand für wahr oder zumindest wahrscheinlich hält. Solche Sätze sind beispielsweise Hypothesen in der Wissenschaft, also Sätze, die noch nicht sicher sind, von denen man aber bis zum Beweis des Gegenteils ausgeht. Kurz gesagt sind es Sachverhalte, welche noch nicht nachgewiesen, aber vorerst als richtig gehandelt werden.

Im logischen Sinne brauchen Prämissen nicht für wahr gehalten zu werden. Im Gegenteil setzt man gelegentlich Prämissen, von denen man genau weiß, dass sie falsch sind. Dies ist z. B. bei der Beweistechnik des indirekten Beweises der Fall, wo von einer Annahme ausgegangen wird mit dem Ziel, diese zu widerlegen. (Das vielleicht bekannteste Beispiel für einen indirekten Beweis ist der Satz des Euklid, bei dem bewiesen wird, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.) Prämissen sind hier also einfach Aussagen, von denen Schlussfolgerungen ausgehen, ohne Rücksicht darauf, ob sie nun wahr, wahrscheinlich oder falsch sind.

Prämissen und Wahrheit

Dennoch gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Prämissen und Wahrheit. Sind die Prämissen in einem gültigen Schluss wahr, muss auch die Konklusion wahr sein. Ein Beispiel hierfür ist der obengenannte Schluss, dass aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist sterblich". Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Sind die Prämissen (oder einige der Prämissen) falsch, gilt nicht notwendigerweise, dass die Konklusion falsch ist. Dies kann man sich daran klarmachen, dass aus "Alle Menschen sind Griechen" und "Sokrates ist ein Mensch" folgt "Sokrates ist Grieche". (Eine Prämisse ist falsch, dennoch ist die Konklusion korrekt.)

Prämissen in der Syllogistik

Ein syllogistischer Schluss geht immer von zwei Prämissen aus. Diese werden als Vordersatz oder Obersatz (lat. propositio maior) und als Untersatz (lat. propositio minor) bezeichnet.

Beispiel für die 1. Prämisse:
Alle Schwabinger sind Münchner.

Beispiel für die 2. Prämisse:
Alle Münchner sind Bayern.

Beispiel für den passenden Schluss-Satz:
Alle Schwabinger sind Bayern.

Symbolische Darstellung

Symbolisch lässt sich eine Schlussfolgerung wie folgt darstellen:

$\backslash \{\backslash mathrm\{A\}\_1,\; \backslash mathrm\{A\}\_2,\; ...\; \backslash mathrm\{A\}\_n\backslash \}\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{B\}$

Lies: Aus $\backslash mathrm\{A\}\_1,\; \backslash mathrm\{A\}\_2,\; ...\; \backslash mathrm\{A\}\_n$ folgt $\backslash mathrm\{B\}$

Eine Schlussfolgerung kann also mehrere Prämissen haben, man geht jedoch gewöhnlich davon aus, dass sie nur eine Konklusion hat. Dies ist aber im Grunde Konvention, es gibt keinen prinzipiellen Grund, warum eine Schlussfolgerung nicht mehrere Konklusionen haben sollte.

Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen

Bei der oben dargestellten Schlussfolgerung spricht man davon, dass sich die Konklusion $\backslash mathrm\{B\}$ in Abhängigkeit von den Prämissen $\backslash mathrm\{A\}\_1,\; \backslash mathrm\{A\}\_2,\; ...\; \backslash mathrm\{A\}\_n$ ergibt. Die Konklusion gilt ja nicht unbedingt, sondern nur wenn die Prämissen wahr sind. Es gibt jedoch die Möglichkeit, solche Abhängigkeiten zu tilgen (engl. "detachment"), darauf beruht u.a. der Kalkül des natürlichen Schließens. Eine Möglichkeit der Tilgung ist, eine der Prämissen durch die "Wenn-Dann"-Konstruktion in die Konklusion mit aufzunehmen:

$\backslash \{\backslash mathrm\{A\}\_1,\; \backslash mathrm\{A\}\_2,\; ...\; \backslash mathrm\{A\}\_\{n-1\}\backslash \}\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{A\}\_n\; \backslash supset\; \backslash mathrm\{B\}$

$\backslash mathrm\{A\}\_n\; \backslash supset\; \backslash mathrm\{B\}$ ist dabei zu lesen als: Wenn $\backslash mathrm\{A\}\_n$, dann $\backslash mathrm\{B\}$

Beispiel: Anstatt aus "Alle Menschen sind sterblich" und "Sokrates ist ein Mensch" zu folgern: "Sokrates ist sterblich" kann ich aus "Alle Menschen sind sterblich" alleine folgern: "Wenn Sokrates ein Mensch ist, ist er sterblich".

Eine andere Möglichkeit ergibt sich, wenn es gelingt, eine der Prämissen aus den anderen zu beweisen, wenn also gilt:

$\backslash \{\backslash mathrm\{A\}\_1,\; \backslash mathrm\{A\}\_2,\; ...\; \backslash mathrm\{A\}\_\{n-1\}\backslash \}\; \backslash vdash\; \backslash mathrm\{A\}\_n$

Dann ist die Prämisse $\backslash mathrm\{A\}\_n$ überflüssig und kann ebenfalls aus der Annahmenmenge getilgt werden.

Beispiel: Gelingt es mir, zu beweisen, dass Sokrates ein Mensch ist, so kann ich aus "Alle Menschen sind sterblich" direkt folgern "Sokrates ist sterblich".

Siehe auch

• Ableitung (Logik)

Logik