Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n$

$a\_n$ ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. $x\_0$ wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder nur für $x\; =\; x\_0$ oder auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) beziehungsweise auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt $x\_0$ (komplexe Ebene) oder auf ganz R beziehungsweise C.

Konvergenzradius

---

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle $x\_0$ ist die größte Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius $r$ mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r=\backslash frac\{1\}\{\backslash limsup(\backslash sqrt*\{|a\_n|\})\}$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:

$r\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\; \backslash left|\; \backslash frac\{a\_n\}\{a\_\{n+1\}\}\; \backslash right|$

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

$|x-x\_0|>r\; \backslash Rightarrow$ die Potenzreihe ist divergent

$|x-x\_0|=r\; \backslash Rightarrow$ ist jeweils separat zu untersuchen.

Beispiele

---

• Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, wobei alle Koeffizienten $a\_n$ mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind.

• Exponentialfunktion :
  

$e^x\; =\; \backslash exp(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{n!\}\; =\; 1\; +\; x\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash ldots$

• Logarithmus :
  

$\backslash ln(1+x)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; (-1)^\{k+1\}\; \backslash frac\{\backslash ,x^k\}\{k\}\; =\; x-\backslash frac\{x^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3\}\; -\backslash frac\{x^4\}\{4\}\; \backslash pm\; \backslash cdots$

• Wurzelfunktion :
  

• Trigonometrische Funktionen :
  

$\backslash sin\; x\; =\; x\; -\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^5\}\{5!\}\; -\; \backslash frac\{x^7\}\{7!\}\; +\; ...\; +\; (-1)^n\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\; +\; ...$
$\backslash cos\; x\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^4\}\{4!\}\; -\; \backslash frac\{x^6\}\{6!\}\; +\; ...\; +\; (-1)^n\; \backslash cdot\; \backslash frac\{x^\{2n\}\}\{(2n)!\}\; +\; ...$

• Hyperbelfunktionen:
  

$\backslash sinh\; x\; =\; x\; +\; \backslash frac\{x^3\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{x^5\}\{5!\}\; +\; \backslash frac\{x^7\}\{7!\}\; +\; ...\; +\; \backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}\; +\; ...$
$\backslash cosh\; x\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{x^4\}\{4!\}\; +\; \backslash frac\{x^6\}\{6!\}\; +\; ...\; +\; \backslash frac\{x^\{2n\}\}\{(2n)!\}\; +\; ...$

Siehe auch: Laurentreihe, Taylorreihe, MacLaurinsche Reihe

Analytische Funktion | Folgen und Reihen

متسلسلة قوى | Potensrække | Power series | Serie de potencias | Série entière | טור חזקות | Serie di potenze | 冪級数 | Machtreeks | Szereg potęgowy | Potensserie