Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Man notiert die Potenzmenge von X meist als $\backslash mathcal\{P\}(X)$. In Formelschreibweise lautet die Definition:

$\backslash mathcal\{P\}(X)\; :=\; \backslash \{\; U\; \backslash mid\; U\; \backslash subseteq\; X\; \backslash \}$

(lies: P von X ist definiert als die Menge aller U, für die gilt: U ist Teilmenge von X). Dabei gilt es zu beachten, dass die leere Menge $\backslash varnothing$ Teilmenge einer jeden Menge ist.

Weitere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind: $\backslash mathfrak\{p\}(X),\backslash \; 2^X,\backslash \; \backslash mathrm\{Pot\}(X),\backslash \; \backslash Pi(X)$.

Beispiele

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$\backslash mathcal\{P\}(\backslash varnothing)\; =\; \backslash \{\; \backslash varnothing\; \backslash \}$

$\backslash mathcal\{P\}(\backslash \{\; a\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; \backslash varnothing,\; \backslash \{\; a\; \backslash \}\; \backslash \}$

$\backslash mathcal\{P\}(\backslash \{\; a,\; b\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; \backslash varnothing,\; \backslash \{\; a\; \backslash \},\; \backslash \{\; b\; \backslash \},\; \backslash \{\; a,\; b\; \backslash \}\; \backslash \}$

$\backslash mathcal\{P\}(\backslash \{\; a,\; b,\; c\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; \backslash varnothing,\; \backslash \{\; a\; \backslash \},\; \backslash \{\; b\; \backslash \},\; \backslash \{\; c\; \backslash \},\; \backslash \{\; a,\; b\; \backslash \},\; \backslash \{\; a,\; c\; \backslash \},\; \backslash \{\; b,\; c\; \backslash \},\; \backslash \{\; a,\; b,\; c\; \backslash \}\; \backslash \}$

Strukturen auf der Potenzmenge

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Partielle Ordnung

Die Inklusionsrelation $\backslash subseteq$ ist eine Halbordnung auf $\backslash mathcal\{P\}(X)$ (und keine Totalordnung, wenn $X$ mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist $\backslash varnothing$, das größte Element ist $X$.

Vollständiger Verband

Die Halbordnung $(\backslash mathcal\{P\}(X),\; \backslash subseteq)$ ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von $\backslash mathcal\{P\}(X)$ ein Infimum und ein Supremum (in $\backslash mathcal\{P\}(X)$) gibt. Konkret ist für eine Menge $T\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\{P\}(X)$ das Infimum von $T$ gleich dem Durchschnitt der Elemente von $T$, und das Supremum von $T$ ist gleich der Vereinigung der Elemente von $T$, also

$\backslash mathrm\{inf\}(T)\; =\; \backslash bigcap\_\{M\; \backslash in\; T\}\; M$   und   $\backslash mathrm\{sup\}(T)\; =\; \backslash bigcup\_\{M\; \backslash in\; T\}\; M$.

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

$\backslash mathrm\{inf\}(\backslash varnothing)\; =\; X$ und $\backslash mathrm\{sup\}(\backslash varnothing)\; =\; \backslash varnothing$.

Boolescher Verband

Zieht man noch die Komplementabbildung $\{\}^\backslash mathrm\{c\}\; :\; \backslash mathcal\{P\}(X)\; \backslash rightarrow\; \backslash mathcal\{P\}(X)$ heran, ist $(\backslash mathcal\{P\}(X),\; \backslash cap,\; \backslash cup,\; ^\backslash mathrm\{c\},\; \backslash varnothing,\; X)$ ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring

Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf $\backslash mathcal\{P\}(X)$ ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und $X$ ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen

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Jeder Teilmenge $T\; \backslash subseteq\; X$ kann man die charakteristische Funktion $\backslash chi\_T\; \backslash colon\; X\; \backslash to\; \backslash \{0,1\backslash \}$ zuordnen, wobei gilt

$$

\chi_T(x) := \begin{cases} 1,& x \in T \\ 0,& x \ \not\in \ T \end{cases} Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen $\backslash mathcal\{P\}(X)$ und $\backslash \{0,\; 1\backslash \}^X\backslash$ (wobei die Notation B^A für die Menge aller Funktionen von A nach B benutzt wird). Dies motiviert auch die Schreibweise $2^X\backslash$.

Die Korrespondenz $\backslash mathcal\{P\}(X)\; \backslash cong\; \backslash \{0,\; 1\backslash \}^X$ ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge

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• Für endliche Mengen gilt:
  $|X|\; =\; n\; \backslash implies\; |\backslash mathcal\{P\}(X)|\; =\; 2^n$.

• Für unendliche Mengen gilt für die Mächtigkeiten:
  .
  Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Unter Annahme der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) ist |P(X)| die nach |X| nächstgrößere Mächtigkeit.

Beschränkung auf kleinere Teilmengen

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Mit wird die Menge derjenigen Teilmengen von $X$ bezeichnet, die weniger als $\backslash kappa$ Elemente enthalten. Beispielsweise ist $\backslash mathcal\{P\}\_3\; (\backslash \{a,b,c\backslash \})\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \},\backslash \{b\backslash \},\backslash \{c\backslash \},\backslash \{a,b\backslash \},\backslash \{a,c\backslash \},\backslash \{b,c\backslash \}\backslash \}$: Die Menge $\backslash \{a,b,c\backslash \}$ selbst fehlt, da sie nicht weniger als $3$ Elemente hat.

Sonstiges

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• Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
• Eine Teilmenge der Potenzmenge heißt Mengensystem.

Siehe auch

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Mengenlehre

Potenční množina | Power set | Conjunto potencia | Potenssijoukko | קבוצת החזקה | Hatványhalmaz | Insieme delle parti | 冪集合 | Machtsverzameling | Potensmengde | Zbiór potęgowy | Conjunto de partes | Булеан | 冪集